Đề thi vào 10 môn Toán Thái Nguyên

Đề bài

Câu 1. (1,0 điểm) Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức:

Câu 2. (2,0 điểm) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình, hệ phương trình sau:

a)

b)

Câu 3. (1,0 điểm) Ở nam giới trưởng thành, chiều cao H (cm) liên hệ với chiều dài xương chày t (cm) theo công thức .

a) H có phải là hàm số bậc nhất của t không? Vì sao?

b) Biết rằng, chiều cao của một nam giới trưởng thành là 162,7 cm. Tính chiều dài xương chày của người đó.

Câu 4. (1,0 điểm) Lớp 9A có 45 học sinh. Kết thúc năm học 2025 - 2026, tổng số học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi và học sinh Xuất sắc của lớp 9A chiếm 60% số học sinh cả lớp. Mỗi học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi, học sinh Xuất sắc được thưởng tương ứng là 10 quyển vở, 15 quyển vở. Biết rằng, tổng số quyển vở thưởng cho các học sinh đạt danh hiệu nói trên là 300 quyển. Tính số học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi, học sinh Xuất sắc của lớp 9A.

Câu 5. (1,5 điểm)

a) Khảo sát 200 người về nhóm máu của họ, kết quả thu được biểu đồ sau:

Trong những người được khảo sát, hãy cho biết: Nhóm máu nào phổ biến nhất? Nhóm máu đó có bao nhiêu người?

b) Hộp A đựng ba thẻ, mỗi thẻ đánh một trong các số 1; 2; 3. Hộp B đựng bốn thẻ, mỗi thẻ đánh một trong các số 4; 5; 6; 7. Trong mỗi hộp các thẻ khác nhau đánh số khác nhau. Bạn An chọn ngẫu nhiên một thẻ trong hộp A. Sau đó, bạn An chọn ngẫu nhiên một thẻ trong hộp B. Tính xác suất của biến cố X: “Tích của hai số trên các thẻ mà An chọn ra là một số lẻ”

Câu 6. (2,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao. Biết , cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

b) Cho một tờ giấy hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 18 cm và chiều rộng AD = 8 cm. Người ta cuộn tờ giấy lại sao cho hai mép chiều rộng của tờ giấy chạm khít nhau để tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao, diện tích xung quanh và bán kính đáy của hình trụ đó.

Câu 7. (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại điểm H. Gọi K, I tương ứng là trung điểm của đoạn thẳng AB, CH.

a) Chứng minh rằng, các điểm H, M, C, N cùng thuộc một đường tròn;

b) Chứng minh rằng, KM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CH;

c) Đường tròn đường kính CH cắt đường tròn (O) tại điểm Q (). Chứng minh rằng, .

-HẾT-

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – TỈNH THÁI NGUYÊN

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

Câu 1. (1,0 điểm) Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức:

Phương pháp: Áp dụng kiến thức căn bậc hai thực hiện phép tính.

Lời giải:

Vậy

Câu 2. (2,0 điểm) Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình, hệ phương trình sau:

a)

b)

Phương pháp:

a) Sử dụng để giải phương trình.

Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt .

b) Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải:

a) Xác định các hệ số: .

Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b) Từ phương trình thứ nhất, ta biểu diễn x theo y:

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

Thay trở lại vào phương trình để tìm

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

Câu 3. (1,0 điểm) Ở nam giới trưởng thành, chiều cao H (cm) liên hệ với chiều dài xương chày t (cm) theo công thức .

a) H có phải là hàm số bậc nhất của t không? Vì sao?

b) Biết rằng, chiều cao của một nam giới trưởng thành là 162,7 cm. Tính chiều dài xương chày của người đó.

Phương pháp:

a) Sử dụng kiến thức hàm số bậc nhất một ẩn.

b) Thay vào công thức tính xác định được chiều dài xương chày của người đó.

Lời giải:

a) H là hàm số bậc nhất của t. Vì công thức có dạng với hệ số , , trong đó hệ số .

b) Theo đề bài, ta có chiều cao cm. Thay vào công thức , ta được:

(cm)

Vậy chiều dài xương chày của người đó là 35 cm.

Câu 4. (1,0 điểm) Lớp 9A có 45 học sinh. Kết thúc năm học 2025 - 2026, tổng số học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi và học sinh Xuất sắc của lớp 9A chiếm 60% số học sinh cả lớp. Mỗi học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi, học sinh Xuất sắc được thưởng tương ứng là 10 quyển vở, 15 quyển vở. Biết rằng, tổng số quyển vở thưởng cho các học sinh đạt danh hiệu nói trên là 300 quyển. Tính số học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi, học sinh Xuất sắc của lớp 9A.

Phương pháp: Gọi số học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi là (học sinh) và số học sinh đạt danh hiệu học sinh Xuất sắc là (học sinh). Theo đề bài ta lập hệ phương trình. Từ đó tìm , . Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Lời giải:

Tổng số học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi và học sinh Xuất sắc của lớp 9A là:

(học sinh).

Gọi số học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi là (học sinh) và số học sinh đạt danh hiệu học sinh Xuất sắc là (học sinh).

(Điều kiện: và ).

Ta có hệ phương trình:

Từ phương trình thứ nhất, suy ra: .

Thế vào phương trình thứ hai:

.

Thay vào biểu thức của : .

Cả hai giá trị và đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy lớp 9A có 21 học sinh đạt danh hiệu học sinh Giỏi và 6 học sinh đạt danh hiệu học sinh Xuất sắc.

Câu 5. (1,5 điểm)

a) Khảo sát 200 người về nhóm máu của họ, kết quả thu được biểu đồ sau:

Trong những người được khảo sát, hãy cho biết: Nhóm máu nào phổ biến nhất? Nhóm máu đó có bao nhiêu người?

b) Hộp A đựng ba thẻ, mỗi thẻ đánh một trong các số 1; 2; 3. Hộp B đựng bốn thẻ, mỗi thẻ đánh một trong các số 4; 5; 6; 7. Trong mỗi hộp các thẻ khác nhau đánh số khác nhau. Bạn An chọn ngẫu nhiên một thẻ trong hộp A. Sau đó, bạn An chọn ngẫu nhiên một thẻ trong hộp B. Tính xác suất của biến cố X: “Tích của hai số trên các thẻ mà An chọn ra là một số lẻ”

Phương pháp:

a) Quan sát biểu đồ xác định phần trăm của các nhóm máu.

Áp dụng tính giá trị phần trăm của một số xác định số người của nhóm máu đó.

b) Bước 1: Xác định không gian mẫu: Liệt kê các kết quả có thể xảy ra khi rút thẻ để tìm tập hợp không gian mẫu . Tính số phần tử của không gian mẫu, kí hiệu là .

Bước 2: Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố X. Tính số phần tử thuận lợi cho biến cố X, kí hiệu là .

Bước 3: Tính xác suất: Áp dụng công thức tính xác suất cổ điển:

Lời giải:

a) Nhóm máu phổ biến nhất là nhóm máu O chiếm 40%

Số người nhóm máu O là:  người

Vậy nhóm máu O phổ biến nhất và có 80 người

b) Phép thử ở đây là lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp A và một thẻ từ hộp B.

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các cặp số có thể xảy ra, trong đó (số trên thẻ từ hộp A) và (số trên thẻ từ hộp B).

Ta liệt kê không gian mẫu:

Vậy số phần tử của không gian mẫu là

Theo đề bài, các thẻ trong mỗi hộp có hình thức giống nhau (các thẻ khác nhau chỉ ở con số được đánh).

Việc chọn thẻ từ hộp A và hộp B của bạn An đều được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Do đó, khả năng mỗi thẻ được rút ra là như nhau, dẫn đến tất cả 12 kết quả là các cặp số của phép thử đều hoàn toàn đồng khả năng.

Biến cố X: “Tích của hai số trên các thẻ mà An chọn ra là một số lẻ”.

Vì tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đó đều là số lẻ. Do vậy, ta cần chọn thẻ mang số lẻ ở cả hai hộp.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố X là các cặp số được ghép từ hai tập hợp trên:

Vậy số lượng kết quả thuận lợi cho biến cố X là:

Xác suất của biến cố X được tính bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và số phần tử của không gian mẫu .

Ta có:

Xác suất để tích của hai số trên các thẻ mà An chọn ra là một số lẻ là .

Câu 6. (2,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao. Biết , cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

b) Cho một tờ giấy hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 18 cm và chiều rộng AD = 8 cm. Người ta cuộn tờ giấy lại sao cho hai mép chiều rộng của tờ giấy chạm khít nhau để tạo thành mặt xung quanh của một hình trụ (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao, diện tích xung quanh và bán kính đáy của hình trụ đó.

Phương pháp:

a) Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông tại H, ta có: . Từ đó, ta tính được độ dài các cạnh của tam giác ABC cân tại A.

b) Tính bán kính của hình trụ, sau đó áp dụng công thức tính diện tích xung quanh .

Lời giải:

a) Xét tam giác ABH vuông tại H có:

(cm)

hay

Suy ra (cm)

Vì tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên (cm); (cm)

Suy ra (cm)

b) Chiều cao của hình trụ

Chu vi đáy của hình trụ

Bán kính đáy của hình trụ là

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Câu 7. (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại điểm H. Gọi K, I tương ứng là trung điểm của đoạn thẳng AB, CH.

a) Chứng minh rằng, các điểm H, M, C, N cùng thuộc một đường tròn;

b) Chứng minh rằng, KM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CH;

c) Đường tròn đường kính CH cắt đường tròn (O) tại điểm Q (). Chứng minh rằng, .

Phương pháp:

a) Chứng minh vuông tại và vuông tại nên H, M, C, N cùng thuộc đường tròn đường kính HC.

b) Chứng minh , và.

Kết hợp với .

Từ đó, ta được:

Suy ra KM là tiếp tuyến của (I)

c) Kẻ đường kính CD của (O)

Chứng minh: và . Suy ra ADBH là hình bình hành

Mà K là trung điểm của AB nên K cũng là trung điểm DH hay H, K, D thẳng hàng.

Chứng minh, Q, H, D thẳng hàng. Suy ra K, H, Q thẳng hàng.

Chứng minh: (g.g). Suy ra hay

Lời giải:

a) có BN, AM là đường cao nên

Vì vuông tại N nên H, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC (1)

Vì vuông tại M nên H, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC (2)

Từ (1), (2) ta suy ra H, M, C, N cùng thuộc đường tròn đường kính HC

b) Ta có:

(2 góc đối đỉnh)

Do đó (1)

Vì vuông tại M, MK là trung tuyến nên

Do đó cân tại K nên (2)

Tương tự (3)

Mặt khác: (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ta được

Suy ra KM là tiếp tuyến của (I) (đpcm)

c) Kẻ đường kính CD của (O)

Khi đó hay

mà nên (1)

Tương tự (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ADBH là hình bình hành

Mà K là trung điểm của AB nên K cũng là trung điểm DH

Hay H, K, D thẳng hàng. (5)

Vì nội tiếp (I) đường kính CH nên (3)

Vì nội tiếp (O) đường kính CD nên (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra Q, H, D thẳng hàng (6)

Từ (5), (6) ta suy ra K, H, Q thẳng hàng.

Xét và có:

(2 góc đối đỉnh)

Do đó (g.g)

Suy ra hay (đpcm)

—HẾT—

Đề bài

Câu 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức

Câu 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, giải phương trình

Câu 3: Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình

Câu 4: Cho hàm số bậc nhất , với m là tham số.

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên ? Vì sao?

b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(1;3).

Câu 5: Cho biểu thức với x > 0.

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của biểu thức B khi

Câu 6: Cho hình chữ nhật có chu vi bằng 30cm. Nếu chiều rộng tăng thêm 3cm và chiều dài giảm đi 1cm thì diện tích hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm 18cm². Tính chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật đã cho.

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết AH = 4cm và HC = 3cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AC, BC và AB.

Câu 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng . Tính số đo của các cung nhỏ AD, BC và số đo của .

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB). Trên tia BA lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ DH vuông góc với BC tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DH và AC. Chứng minh rằng:

a)

b)

Câu 10: Cho tam giác ABC (AB > BC > CA) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi điểm K là chân đường vuông góc kẻ từ điểm A đến cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là điểm đối xứng với điểm B qua điểm K. Gọi điểm N là giao điểm của hai đường thẳng HM và AC.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, H, C, M cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại điểm F . Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng KN và BF. Chứng minh rằng NA.NC = NM.FP.

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Khai căn bậc hai và rút gọn.

Cách giải:

Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức

Vậy A = 0.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm.

Cách giải:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy phương trình có tập nghiệm .

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng cách cộng đại số hoặc thế.

Cách giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1).

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

So sánh hệ số a với 0 để kết luận tính nghịch biến, đồng biến.

Thay tọa độ A vào hàm số tìm m.

Cách giải:

a Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên ? Vì sao?

Hàm số đồng biến trên vì hệ số .

b, Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(1;3).

Để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(1;3) .

Vậy thì đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(1;3).

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

a) Tìm mẫu số chung, quy động và rút gọn biểu thức

b) Đưa x về dạng bình phương của tổng và thay vào B.

Cách giải:

a) Rút gọn biểu thức B.

Với x > 0 ta có:

Vậy với x > 0 thì B = .

b) Tính giá trị của biểu thức B khi

Ta có:

Thay (tm ĐKXĐ) vào B ta có:

Vậy với thì B = .

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Gọi chiều dài là x, biểu diễn chiều rộng, diện tích hình chữ nhật lúc đầu và lúc sau theo x và lập phương trình tìm x.

Cách giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: .

Gọi chiều dài hình chữ nhật là .

Chiều rộng hình chữ nhật là (cm).

Diện tích hình chữ nhật là: .

Nếu chiều rộng tăng thêm 3cm thì chiều rộng hình chữ nhật là: (cm).

Nếu chiều dài giảm đi 1cm thì chiều dài hình chữ nhật là: (cm).

Khi đó, diện tích hình chữ nhật lúc này là: .

Vì diện tích hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm 18cm² nên ta có phương trình:

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 9cm, chiều rộng hình chữ nhật là cm.

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính độ dài các đoạn thẳng AC, BC và AB.

Cách giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AHC, ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, đường cao AH ta có:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

(cm)

Vậy AC = 5cm, BC = cm và AB = cm

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng mối liên hệ góc nội tiếp, số đo các cung để tính.

Cách giải:

+) Tính số đo của cung nhỏ AD

Ta có: nội tiếp chắn cung nhỏ AD

số đo cung nhỏ AD

số đo cung nhỏ AD

số đo cung nhỏ AD .

+) Tính số đo của cung nhỏ BC

Ta có: nội tiếp chắn cung nhỏ BC

số đo cung nhỏ BC

số đo cung nhỏ BC

số đo cung nhỏ BC .

+) Tính số đo của góc BHC.

Góc BHC là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, chắn hai cung nhỏ AD và BD

(số đo cung nhỏ AD + số đo cung nhỏ BC)

.

Vậy .

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp từ đó suy ra các góc nội tiếp bằng nhau

b) Chứng minh cân tại A.

Cách giải:

a)

Ta có (do tam giác ABC vuông tại A và tại H)

Mà A, H là 2 đỉnh kề nhau, cùng nhìn DC dưới 2 góc bằng nhau nên AHCD nội tiếp

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) (đpcm)

b)

Do AD = AC (giá trị) nên tam giác ACD cân tại A (tính chất) (1)

Xét tứ giác AKHB có

Suy ra tứ giác AKHB nội tiếp (tổng hai góc đối bằng ) (đhnb)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp AHCD)

(2)

Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra cân tại A.

Vậy AK = AB (tính chất tam giác cân) (đpcm).

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

a) Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn cạnh dưới 2 góc bằng nhau.

b) Chứng minh các tam giác đồng dạng để suy ra tỉ lệ

Cách giải:

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, H, C, M cùng thuộc một đường tròn.

Vì M đối xứng với B qua K nên BK = MK.

Xét và có:

(hai cạnh góc vuông).

(2 góc tương ứng)

cân tại H (định nghĩa)

(tính chất tam giác cân) (1)

Kéo dài BH cắt AC tại E. Vì H là trực tâm của tam giác ABC (gt) vuông tại C.

Ta có: (tam giác BCE vuông tại C).

(tam giác ACK vuông tại K).

(2)

Từ (1) và (2) .

Mà 2 đỉnh A, M kề nhau cùng nhìn HC dưới hai góc bằng nhau.

là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Vậy bốn điểm A, H, C, M cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại điểm F . Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng KN và BF. Chứng minh rằng NA.NC = NM.FP.

Ta có: (cmt) .

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FC).

.

Xét tam giác vuông BHK và tam giác vuông BFK có:

(cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

(hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng).

Ta có: (hai góc tương ứng).

.

Xét và có:

(đối đỉnh)

(hai cạnh tương ứng).

Xét và có:

(đối đỉnh)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung HC của tứ giác nội tiếp AHCM).

(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

.

Mà NH = FB (cmt).

Vậy NA.NC = NM.FP (đpcm).

Đề bài

Câu 1. Cho hàm số bậc nhất .  Hàm số đã cho là đồng biến hay nghịch biến trên ? Vì sao?

Câu 2. Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình .

Câu 3.  Rút gọn biểu thức .

Câu 4. Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình .

Câu 5. Cho biểu thức , với .

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm giá trị của để .

Câu 6. Một nhóm học sinh dự đinh làm 360 chiếc mũ chắn giọt bắn trong một thời gian nhất định để ủng hộ các địa phương trong công tác phòng, chống dịch bệnh COVID-19. Thựe tế, mỗi ngày nhóm học sinh làm vượt mức 12 chiếc mũ so với dự định. Vì vậy, nhóm đã làm xong trước thời gian dự định hai ngày và làm thêm đưọc 4 chiếc mũ. Hỏi theo dự định, mỗi ngày nhóm học sinh làm được bao nhiêu chiếc mũ ?

Câu 7. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Biết và . Tính độ dài các đoạn thẳng và .

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Xác định vị trí tương đối của đường tròn và các trục toạ độ.

Câu 9. Cho đường tròn và dây cung (MN không phải là đường kinh). Lấy điểm thuộc đoạn thẳng sao cho . Gọi là điểm chính giữa của cung nhỏ . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm . Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm cắt đường thẳng tại điểm .

a) Chứng minh ;

b) Gọi là điểm đối xứng với điểm qua . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm . Chứng minh là đường kính của đường tròn .

Câu 10. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . là điểm nằm trên cung nhỏ . Lấy điểm thuộc đoạn thẳng sao cho . Đường trờn đường kinh cắt đường tròn tại điểm . Đường thẳng và cắt đường tròn đường kính lần lượt tại các điểm . Kẻ đường kính của đường tròn . Chứng minh:

a) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn;

b) Chứng minh: . 

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

Hàm số đồng biến trên khi

Cách giải:

Cho hàm số bậc nhất Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên ? Vì sao?

Hàm số có nên hàm số đồng biến trên .

Câu 2

Phương pháp:

Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Cách giải:

Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình

Phương trình có

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: và .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm .

Câu 3

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức:

Thực hiện các phép tính với căn bậc hai.

Cách giải:

Rút gọn biểu thức

Ta có:

Vậy .

Câu 4

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp cộng đại số, tìm được nghiệm

Sử dụng phương pháp thế, tìm được nghiệm

Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Cách giải:

Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm .

Câu 5

Phương pháp:

a) Xác định mẫu thức chung của biểu thức

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán từ đó rút gọn được biểu thức.

b) Giải phương trình:

Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Cho biểu thức với

a) Rút gọn biểu thức ;

ĐKXĐ:

Vậy .

b) Tìm giá trị của để

Điều kiện: .

Ta có:

TMDK

Vậy thì

Câu 6

Phương pháp:

Gọi số chiếc mũ mỗi ngày nhóm học sinh dự định là được là (chiếc), .

Tính được thời gian dự định nhóm học sinh làm xong

Tính được số chiếc mũ, thời gian thực tế học sinh làm xong

Từ giả thiết, lập được phương trình, giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Một nhóm học sinh dự định làm 360 chiếc mũ chắn giọt bán trong một thời gian nhất định để ủng hộ các dịa phuơng trong công tác phòng, chống dịch COVID-19. Thục tế, mỗi ngày nhóm học sinh làm vuợt mức 12 chiếc mũ so với dự dịnh. Vì vậy, nhóm đã làm xong trước thời gian dự định hai ngày và làm thêm được 4 chiếc mũ. Hỏi theo dự định, mỗi ngày nhóm học sinh làm được bao nhiêu chiếc mũ?

Gọi số chiếc mũ mỗi ngày nhóm học sinh dự định là được là (chiếc), .

Thời gian dự định nhóm học sinh làm xong 360 chiếc mũ là: (ngày)

Thực tế mỗi ngày, nhóm học sinh làm được số chiếc mũ là: (chiếc).

Thời gian thực tế nhóm học sinh hoàn thành chiếc mũ là: (ngày)

Nhóm học sinh đã hoàn thành xong trước dự định 2 ngày nên ta có phương trình:

Phương trình có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: và

Vậy theo dự định, mỗi ngày nhóm học sinh làm được 40 chiếc mũ.

Câu 7

Phương pháp:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Áp dụng định lý Py – ta – go

Cách giải:

Cho tam giác vuông tại , dường cao . Biết và Tính độ dài các dọn thẳng và

Xét vuông tại ta có:

Áp dụng định lí Py – ta – go cho vuông tại ta có:

Áp dụng hệ thức lượng cho vuông tại có đường cao ta có:

Vậy

Câu 8

Phương pháp:

Gọi là bán kính đường tròn .

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các trục tọa độ .

Tính độ dài so sánh với và kết luận.

Cách giải:

Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm Xác định vị trí tương đối của đường tròn và các trục tọa độ.

Gọi là bán kính đường tròn .

Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các trục tọa độ .

Ta có: là hình chữ nhật

tiếp xúc với tại và không cắt đường tròn .

Câu 9

Phương pháp:

a) Ta sẽ chứng minh: và , từ đó suy ra

b) Ta sẽ chứng minh: nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn do đó, là đường kính của đường tròn

Cách giải:

Cho đường tròn và dây cung ( không phải là đường kính). Lấy điểm thuộc đoạn thẳng sao cho Goi là điểm chính giữa của cung nhỏ . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm cắt đường thẳng tại

a) Chứng minh .

Ta có: (tính chất góc ngoài tam giác ).

Ta có ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Lai có là điểm chính giữa cung suy ra (hai cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau).

là tam giác cân tại

(tính chất tam giác cân).

Suy ra .

b) Gọi là điểm đối xứng với diểm qua . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm

Chứng minh là đường kính của đường tròn .

Ta có: (tính chất góc ngoài tam giác)

Mà: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung ).

Trong có: (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Suy ra .

Suy ra tam giác cân tại suy ra (tính chất tam giác cân).

Mặt khác (gt) nên .

Tam giác có suy ra tam giác vuông tại .

Suy ra hay , suy ra nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Vậy là đường kính của đường tròn (đpcm).

Câu 10

Phương pháp:

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp, chứng minh nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai góc dối bằng ), do đó điểm cùng thuộc một đường tròn

b) +  , , thẳng hàng.

+ (cạnh huyền – góc nhọn) cạnh tương ứng).

+ (cạnh - góc - cạnh).

Cách giải:

Cho tam giác nhọn nội tiếp dường tròn (AB là điểm nằm trên cung nhỏ Lấy điểm thuộc đoạn thẳng sao cho Đường tròn đường kính cắt đường tròn tại điểm Đường thẳng và cắt đường tròn đường kính lần lượt tại các điểm Kẻ đường kinh của đường tròn . Chứng minh:

a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

và (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn .

Xét tứ giác có:

tứ giác nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai góc dối bằng ).

Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính )    (1)

Tương tự (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn    (2)

Từ (1) và (2) suy ra , , thẳng hàng.

Xét đường tròn đường kính , ta có góc nội tiếp cùng chắn ) hay

Lại có góc nội tiếp cùng chắn ) hay . Từ (3) và (4) suy ra (cùng bằng ).

Xét và có:

           : cạnh chung.

           (chứng minh trên).

(cạnh huyền - góc nhọn)

cạnh tương ứng).

Xét và có

            cạnh chung.

            (chứng minh trên).

(cạnh - góc - cạnh). 

Đề bài

Câu 1: 

Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức .

Câu 2: 

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình .

Câu 3:  

Cho hàm số bậc nhất

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên Vì sao?

b) Tính các giá trị:

Câu 4: 

Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và

Câu 5: 

Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm giá trị của để .

Câu 6: 

Ông Minh dự định đi bằng xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 80 km trong thời gian định trước. Khi đi được 20 km, tại địa điểm C, xe của ông hỏng nên ông phải dừng lại để sửa xe mất 10 phút. Sau khi sửa xe xong, để đảm bảo thời gian như đã đinh, ông Minh tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường đi từ C đến B. Hãy tính vận tốc xe của ông Minh trên quãng đường từ A đến C.

Câu 7: 

Cho vuông tại đường cao Biết Tính độ dài cạnh và đường cao

Câu 8: 

Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tiếp tuyến chung ngoài cắt đường thẳng tại điểm với Tính độ dài đoạn thẳng biết

Câu 9: 

Cho tam giác cân tại các đường cao cắt nhau tại Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

Câu 10: 

Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn các đường cao cắt nhau tại Đường thẳng cắt đường tròn tại

a) Chứng minh cân.

b) Gọi lần lượt là điểm đối xứng với qua và Chứng minh ba điểm thẳng hàng. 

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Cách giải:

Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức .

Ta có:

Vậy .

Câu 2.

Cách giải:

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình .

Ta có:

.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Câu 3.

Cách giải:

Cho hàm số bậc nhất

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên Vì sao?

Xét hàm số ta có: .

Hàm số đồng biến trên

b) Tính các giá trị:

Xét hàm số ta có:

Vậy và

Câu 4.

Cách giải:

Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

Phương trình có: .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: và

+) Với .

+) Với

Vậy hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt: và

Câu 5.

Cách giải:

Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức .

Với ta có:

Vậy với thì .

b) Tìm giá trị của để .

Ta có: .

Do nên .

Do đó .

Kết hợp điều kiện ta có .

Vậy để thì .

Câu 6.

Cách giải:

Ông Minh dự định đi bằng xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 80 km trong thời gian định trước. Khi đi được 20 km, tại địa điểm C, xe của ông hỏng nên ông phải dừng lại để sửa xe mất 10 phút. Sau khi sửa xe xong, để đảm bảo thời gian như đã đinh, ông Minh tăng vận tốc thêm 5 km/h trên quãng đường đi từ C đến B. Hãy tính vận tốc xe của ông Minh trên quãng đường từ A đến C.

Gọi vận tốc dự định của ông Minh là

Khi đó thời gian dự định ông Minh đi hết quãng đường từ A đến B là:

Thời gian ông Minh đi hết quãng đường AC là:

Sau khi sửa xe, ông Minh đã tăng vận tốc thêm trên quãng đường CB nên vận tốc ông Minh đi trên quãng đường CB là:

Thời gian ông Minh đi hết quãng đường BC là:

Tuy phải sửa xe mất phút nhưng ông Minh vẫn đến nơi đúng dự định nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ông Minh đi trên quãng đường AC là 40 km/h.

Câu 7.

Cách giải:

Cho vuông tại đường cao Biết Tính độ dài cạnh và đường cao

Áp dụng định lý Pitago cho vuông tại ta có:

Áp dụng hệ thức lượng cho cho vuông tại có đường cao ta có:

Vậy và

Câu 8.

Cách giải:

Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tiếp tuyến chung ngoài cắt đường thẳng tại điểm với Tính độ dài đoạn thẳng biết

Ta có:

là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn

(từ vuông góc đến song song)

(định lý Ta-let)

Vậy

Câu 9.

Cách giải:

Cho tam giác cân tại các đường cao cắt nhau tại Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

Gọi là trung điểm của là tâm của đường tròn đường kính

Ta có: là đường cao của

vuông tại  (*)

Xét vuông tại có đường trung tuyến

(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

cân tại (định nghĩa tam giác cân)

(tính chất tam giác cân)  (1)

Vì cân tại có đường cao là trung điểm của (tính chất cân).

Xét vuông tại có đường trung tuyến

(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

(tính chất tam giác cân). (2)

Lại có: (vuông tại )

Hay

Mặt khác (hai góc đối đỉnh)

 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:

Hay (**)

Từ (*) và (**) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính (đpcm)

Câu 10.

Cách giải:

Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn các đường cao cắt nhau tại Đường thẳng cắt đường tròn tại

a) Chứng minh cân.

Ta có: là hai đường cao của  

Xét tứ giác ta có:

Mà đỉnh là hai đỉnh kề nhau

là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Hay     (1)

Xét đường tròn ta có:

và là hai góc nội tiếp cùng chắn cung

(2)

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Hay (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra hay

là đường phân giác của

Xét ta có: vừa là đường cao, vừa là đường phân giác

cân tại (đpcm)

b) Gọi lần lượt là điểm đối xứng với qua và Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Gọi là giao điểm của và là giao điểm của mà

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc kề nhau

là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn

(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện). (1)

Ta có: vuông tại   (2)

vuông tại (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

là hai góc đối đỉnh

thẳng hàng.

Ta có: là tam giác cân tại (cmt) có đường cao

là trung điểm của (tính chất tam giác cân)

Xét ta có:

lần lượt là trung điểm của

là đường trung bình của

(tính chất đường trung bình).

(4)

Xét ta có:

lần lượt là trung điểm của

là đường trung bình của

(tính chất đường trung bình).

 (5)

Từ (4) và (5) suy ra: thẳng hàng.

Đề bài

Câu 1: Chứng minh là một số nguyên.

Câu 2:  Rút gọn biểu thức với và .

Câu 3: Tìm các giá trị của để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại .

Câu 5: Một địa phương cấy giống lúa loại và giống lúa loại . Sau một mùa vụ, địa phương đó thu hoạch và tính toán sản lượng thấy:

+ Tổng sản lượng của hai giống lúa thu về là tấn;

+ Sản lượng thu về từ giống lúa loại nhiều hơn sản lượng thu về từ giống lúa loại là tấn.

Hãy tính năng suất lúa trung bình (đơn vị: tấn/ha) của mỗi loại giống lúa.

Câu 6: Cho phương trình . Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .

Câu 7: Cho tam giác vuông tại , đường cao . Biết . Tính độ dài các cạnh của tam giác .

Câu 8: Cho đường tròn . Đường thẳng tiếp xúc với tại . Trên lấy một điểm vẽ đường tròn cắt đường tròn tại điểm Chứng minh là tiếp tuyến của .

Câu 9: Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn Lấy các điểm lần lượt thuộc các cung nhỏ và sao cho vuông góc với vuông góc với Gọi lần lượt là giao điểm của với và Chứng minh

Câu 10: Từ điểm nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn là tiếp điểm). Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh

b) là một dây cung của đi qua sao cho không thẳng hàng.

Chứng minh bốn điểm nằm trên cùng một đường tròn. 

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

Rút gọn , sử dụng hẳng đẳng thức .

Cách giải:

Ta có :

Vậy là một số nguyên.

Câu 2

Phương pháp:

+) Sử dụng hằng đẳng thức.

+) Xét dấu, phá trị tuyệt đối và rút gọn.

Cách giải:

Với và ta có:

Câu 3

Phương pháp:

Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng   tại khi

Cách giải:

Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng   tại

Vậy thỏa mãn bài toán.

Câu 4

Phương pháp:

Đồ thị hàm số song song với đường thẳng suy ra

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2020, suy ra tọa độ giao điểm
Thay tọa độ giao điểm vào ta tìm được b.

Cách giải :

Vì đồ thị hàm số song song với đường thẳng nên

Mà đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là đồ thị hàm số đi qua điểm

Vậy

Câu 5

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

- Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Bước 3: Lập hệ phương trình.

- Bước 4: Giải hệ phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Gọi sản lượng lúa của loại I và II trên mỗi lần lượt là và (tấn/ha).  Điều kiện: .

giống lúa loại I thu về sản lượng tấn; giống lúa loại II thu về sản lượng tấn

Tổng sản lượng thu về là tấn nên ta có phương trình: .

giống lúa loại I thu về sản lượng tấn; giống lúa loại II thu về sản lượng tấn.

Sản lượng thu về từ giống lúa loại nhiều hơn sản lượng thu về từ giống lúa loại là tấn nên ta có phương trình: .

Từ và ta có hệ phương trình:

Giải hệ:

Vậy năng suất lúa trung bình của giống lúa loại I là tấn/ha;  năng suất lúa trung bình của giống lúa loại II là tấn/ha.

Câu 6

Phương pháp:

Phương trình có hai nghiệm

Biến đổi để xuất hiện tổng và tích hai nghiệm rồi sử dụng hệ thức Vi-et.

Cách giải:

Phương trình (*)  có  

Để phương trình (*) có hai nghiệm thì

Theo hệ thức Vi-et ta có

Theo bài ra ta có:

Vậy là giá trị cần tìm.

Câu 7:

Phương pháp:

+ Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông. Tính BH

+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác. Tính BC

+ Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC. Tính AC.

Cách giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông tại H. Ta có:

Trong tam giác vuông vuông tại có AH là đường cao

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

Vậy:

Câu 8

Phương pháp:

Chứng minh và suy ra điều phải chứng minh.

Cách giải:

là tiếp tuyến với tại

(cùng là các bán kính).

Xét tam giác và có:

hay là tiếp tuyến của đường tròn (đpcm).

Câu 9

Phương pháp:

+ Góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

+ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

+ Chứng minh hai tam giác và tam giác đồng dạng để suy ra hệ thức cần chứng minh.

Cách giải:

Gọi

Xét đường tròn ta có:

  (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Mà theo giả thiết  thì tại tại  

Từ  (1) và (2) suy ra: 

Ta lại có: (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Và    (góc nội tiếp chắn cung )

Từ (3), (4), (5) suy ra

Xét và có:

Câu 10:

Phương pháp:

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông .

b) Chứng minh hai tam giác và đồng dạng suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

Từ đó sử dụng dáu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp.

Cách giải:

a) Vì là tiếp tuyến của đường tròn , là tiếp điểm.

vuông tại B.

Lại có: nằm trên trung trực của .

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nằm trên trung trực của .

Do đó là trung trực của hay tại

(hệ thức lượng trong tam giác vuông )

Vậy: (đpcm).

b) Theo câu a)

Mà (cùng bằng bán kính)

Xét và có:

(góc tương ứng)

Mà tam giác cân tại

Từ và suy ra

Xét tứ giác có tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đinh kề cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau)

Hay bốn điểm cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

Đề bài

Câu 1 (1 điểm): Không dùng máy tính cầm tay, hãy giải phương trình:

Câu 2 (1 điểm): Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

Câu 3 (1 điểm): Rút gọn biểu thức:   với  

Câu 4 (1 điểm): Cho hàm số bậc nhất với là tham số. Tìm để đồ thị hàm số đi qua điểm   Với giá trị vừa tìm được, hàm số đồng biến hay nghịch biến trên

Câu 5 (1 điểm): Giải hệ phương trình:

Câu 6 (1 điểm): Cho phương trình với là tham số. Tìm giá trị của để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Câu 7(1 điểm): Cho tam giác vuông tại đường cao biết và Tính độ dài các cạnh

Câu 8 (1 điểm): Cho hai đường tròn và Biết khoảng cách với là số thực dương. Tìm để hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Câu 9 (1 điểm): Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây cung MC không đi qua tâm O cắt đoạn thẳng AB tại D (D khác A, D khác B). Đường thẳng vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K.Chứng minh rằng tam giác KCD là tam giác đều.

Câu 10 (1 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

b) Gọi M là giao điểm của EF và BC, đường thẳng MA cắt (O) tại điểm thứ hai là I khác A. Chứng minh tứ giác AEFI nội tiếp được một đường tròn.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu sau đó đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng phương trình tích.

Cách giải:

Không dùng máy tính cầm tay, hãy giải phương trình:

Ta có:

Vậy phương trình có tập nghiệm

Câu 2:

Phương pháp:

+) Đặt nhân tử chung, rút gọn phân thức.

+) Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu để tính giá trị biểu thức.

Cách giải:

Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức:

Vậy

Câu 3:

Phương pháp:

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi để rút gọn biểu thức.

Cách giải:

Rút gọn biểu thức:   với  

Điều kiện:

Câu 4:

Phương pháp:

+) Thay tọa độ điểm A vào công thức hàm số để tìm m.

+) Hàm số bậc nhất đồng biến trên

Cách giải:

Cho hàm số bậc nhất với là tham số. Tìm để đồ thị hàm số đi qua điểm   Với giá trị vừa tìm được, hàm số đồng biến hay nghịch biến trên

Hàm số là hàm số bậc nhất khi

Đồ thị hàm số đi qua điểm

Khi đó hàm số có dạng:

Hàm số có nên hàm số đồng biến trên

Câu 5:

Phương pháp:

+) Cách 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

+) Cách 2: Biến đổi và thu gọn từng phương trình sau đó giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp đặt ẩn phụ.

Cách giải:

Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Câu 6:

Phương pháp:

+) Phương trình có hai nghiệm

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét và hệ thức bài cho để tìm

Cách giải:

Cho phương trình với là tham số. Tìm giá trị của để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

 Phương trình đã cho có hai nghiệm

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy

Câu 7:

Phương pháp:

+) Sử dụng công thức lượng giác của góc nhọn, định lý Pi-ta-go và hệ thức lượng trong tam giác vuông để làm bài toán.

Cách giải:

Cho tam giác vuông tại đường cao biết và Tính độ dài các cạnh

Xét tam giác vuông tại ta có:

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông tại đường cao ta có:

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông ABC ta có:

Vậy BC = 20 cm; AB = 12 cm.

Câu 8:

Phương pháp:

Cho hai đường tròn và

+) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau nếu:

+) Hai đường tròn tiếp xúc trong nhau nếu:

Cách giải:

Cho hai đường tròn và Biết khoảng cách với là số thực dương. Tìm để hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau nếu:

Hai đường tròn tiếp xúc trong nhau nếu:

Vậy hoặc thỏa mãn bài toán.

Câu 9:

Phương pháp:

+) Sử dụng tính chất giữa đường kính và dây cung.

+) Tam giác cân có hai góc kề đáy bằng nhau.

+) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Cách giải:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây cung MC không đi qua tâm O cắt đoạn thẳng AB tại D (D khác A, D khác B). Đường thẳng vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K.Chứng minh rằng tam giác KCD là tam giác đều.

Ta có là điểm chính giữa cung  (trong một đường tròn thì hai cung căng hai dây bằng nhau); Lại có OA = OB (bán kính của (O))

Nên ta có OM là đường trung trực của

Lại có

(từ vuông góc đến song song).

(hai góc đồng vị).

Ta có cân tại O (hai góc kề đáy).

cân tại   (đpcm).

Câu 10:

Phương pháp:

Ta có:

Cách giải:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

Ta có vuông tại cùng thuộc đường tròn đường kính     (1)

vuông tại cùng thuộc đường tròn đường kính     (2)

Từ (1) và (2) ta có 4 điểm cùng thuộc đường tròn tâm là trung điểm của và bán kính

Hay tứ giác nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm của và bán kính

b) Gọi M là giao điểm của EF và BC, đường thẳng MA cắt (O) tại điểm thứ hai là I khác A. Chứng minh tứ giác AEFI nội tiếp được một đường tròn.

Xét tứ giác ta có: là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đoạn

là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Xét và ta có: