Đề thi vào 10 môn Toán Thành phố Hồ Chí Minh

Đề bài

 Bài 1: (1,5 điểm) Cho hàm số có đồ thị (P).

a) Vẽ (P).

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) có hoành độ bằng 6.

Bài 2: (1,0 điểm) Cho phương trình

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt .

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

Bài 3: (1,5 điểm) Kết quả khảo sát đối với một số bạn học sinh khối 9 về số giờ sử dụng điện thoại trong một ngày được thể hiện qua biểu đồ dưới đây.

a) Tính số học sinh đã tham gia cuộc khảo sát.

b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố A: "Học sinh được chọn có thời gian sử dụng điện thoại 3 giờ một ngày".

c) Nhà trường khuyến cáo học sinh không nên sử dụng điện thoại nhiều hơn 3 giờ một ngày. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố B: "Học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo của nhà trường".

Bài 4: (1,0 điểm) Bác Năm có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều rộng là , () và chiều dài hơn chiều rộng . Bác Năm dùng một phần đất hình chữ nhật để làm nhà ở như hình vẽ.

a) Viết biểu thức thu gọn biểu diễn diện tích phần làm nhà ở theo .

b) Tìm chiều dài, chiều rộng của mảnh đất, biết diện tích mảnh đất gấp lần diện tích làm nhà ở.

Bài 5: (1,0 điểm)

Một bình inox có cấu tạo gồm hai phần: phần thân có dạng hình trụ có chiều cao 20 cm và bán kính đáy là 4 cm, phần nắp có dạng nửa hình cầu có đường kính bằng với đường kính đáy của phần thân.

a) Tính thể tích không gian bên trong của cái bình trên nếu bỏ qua độ dày của vỏ bình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).

b) Nhà sản xuất muốn phủ một lớp sơn tĩnh điện lên mặt ngoài của vỏ bình (gồm phần thân, phần nắp và đáy bình), giả sử chi phí sơn là 210 000 đồng/m². Tính chi phí để sơn một cái bình inox (làm tròn kết quả đến nghìn đồng).

Biết công thức tính thể tích hình trụ là , diện tích xung quanh hình trụ là với R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ. Thể tích hình cầu là , diện tích mặt cầu là với là bán kính. Lấy .

Bài 6: (1,0 điểm)

Hai đội và dự kiến cùng làm chung và xong công việc trong một số ngày. Nếu đội làm công việc rồi đội làm phần còn lại thì chậm hơn so với dự kiến ngày. Nếu đội làm công việc rồi đội làm phần còn lại thì chậm hơn so với dự kiến ngày. Hỏi hai đội và dự kiến cùng làm chung và xong công việc này trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất của hai đội và là không đổi).

Bài 7: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh đồng dạng và .

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; J là giao điểm của AK và BC.

i) Chứng minh .

ii) Biết , tính diện tích tam giác IHJ theo .

-HẾT-

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

Bài 1: (1,5 điểm) Cho hàm số có đồ thị (P).

a) Vẽ (P).

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) có hoành độ bằng 6.

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị của hàm số

Đồ thị hàm số là một đường Parabol đi qua gốc toạ độ và các điểm , , , . Đồ thị nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.

Vì hệ số nên đồ thị có bề lõm hướng lên trên, điểm là điểm thấp nhất của đồ thị.

b) Theo đề bài, điểm M có hoành độ bằng 6, tức là .

Vì điểm M nằm trên đồ thị (P) có phương trình , nên tọa độ của điểm M phải thỏa mãn phương trình này.

Thay vào phương trình hàm số, ta có tung độ :

Vậy toạ độ điểm là .

Bài 2: (1,0 điểm) Cho phương trình

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt .

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

Lời giải:

a) Xét phương trình có các hệ số .

Ta có: .

Vì nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt , áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Khi đó ta có:

Vậy giá trị của biểu thức A là 7.

Bài 3: (1,5 điểm) Kết quả khảo sát đối với một số bạn học sinh khối 9 về số giờ sử dụng điện thoại trong một ngày được thể hiện qua biểu đồ dưới đây.

a) Tính số học sinh đã tham gia cuộc khảo sát.

b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố A: "Học sinh được chọn có thời gian sử dụng điện thoại 3 giờ một ngày".

c) Nhà trường khuyến cáo học sinh không nên sử dụng điện thoại nhiều hơn 3 giờ một ngày. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố B: "Học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo của nhà trường".

Lời giải:

a) Số học sinh tham gia khảo sát: 12 + 28 + 30 + 20 + 10 = 100.

b) Phép thử: Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm khảo sát

Không gian mẫu : Là tập hợp gồm tất cả 100 học sinh đã tham gia cuộc khảo sát nên .

Vì việc chọn ngẫu nhiên được thực hiện một cách công bằng, không thiên vị, nên mỗi học sinh trong nhóm 100 người đều có cơ hội được chọn là như nhau. Do đó, các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng.

Biến cố A: "Học sinh được chọn có thời gian sử dụng điện thoại 3 giờ một ngày".

Dựa vào cột tương ứng số 3 trên trục hoành của biểu đồ, số lượng học sinh sử dụng điện thoại 3 giờ là 30 học sinh.

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố là .

Xác suất của biến cố là: .

c) Theo đề bài, khuyến cáo là "không nên sử dụng điện thoại nhiều hơn 3 giờ một ngày”, nghĩa là số giờ sử dụng hợp lệ phải nhỏ hơn hoặc bằng 3 giờ (bao gồm các mức: 1 giờ, 2 giờ, và 3 giờ).

Số học sinh thực hiện đúng lời khuyên này là: (học sinh).

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố là .

Xác suất của biến cố là: .

Bài 4: (1,0 điểm) Bác Năm có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều rộng là , () và chiều dài hơn chiều rộng . Bác Năm dùng một phần đất hình chữ nhật để làm nhà ở như hình vẽ.

a) Viết biểu thức thu gọn biểu diễn diện tích phần làm nhà ở theo .

b) Tìm chiều dài, chiều rộng của mảnh đất, biết diện tích mảnh đất gấp lần diện tích làm nhà ở.

Lời giải:

a) Chiều dài phần nhà ở là:

Chiều rộng phần nhà ở là:

Vậy diện tích phần nhà ở là:

b) Diện tích toàn bộ mảnh đất là:

Vì diện tích mảnh đất gấp lần diện tích làm nhà ở nên .

Ta có phương trình:

TH1: ta được (Thỏa mãn)

TH2: ta được (Không thỏa mãn )

Vậy chiều rộng mảnh đất là , chiều dài mảnh đất là:

Bài 5: (1,0 điểm)

Một bình inox có cấu tạo gồm hai phần: phần thân có dạng hình trụ có chiều cao 20 cm và bán kính đáy là 4 cm, phần nắp có dạng nửa hình cầu có đường kính bằng với đường kính đáy của phần thân.

a) Tính thể tích không gian bên trong của cái bình trên nếu bỏ qua độ dày của vỏ bình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).

b) Nhà sản xuất muốn phủ một lớp sơn tĩnh điện lên mặt ngoài của vỏ bình (gồm phần thân, phần nắp và đáy bình), giả sử chi phí sơn là 210 000 đồng/m². Tính chi phí để sơn một cái bình inox (làm tròn kết quả đến nghìn đồng).

Biết công thức tính thể tích hình trụ là , diện tích xung quanh hình trụ là với R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ. Thể tích hình cầu là , diện tích mặt cầu là với là bán kính. Lấy .

Lời giải:

a) Thể tích bình gồm phần nắp và phần bình:

Thể tích nắp

Thể tích bình:

Vậy thể tích không gian bên trong bình:

Vậy thể tích không gian bên trong bình khoảng 1139

b) Diện tích phần nắp là:

Diện tích xung quanh thân bình:

Diện tích đáy:

Diện tích cần sơn:

Chi phí sơn: (đồng)

Vậy chi phí sơn là 14 000 đồng.

Bài 6: (1,0 điểm)

Hai đội và dự kiến cùng làm chung và xong công việc trong một số ngày. Nếu đội làm công việc rồi đội làm phần còn lại thì chậm hơn so với dự kiến ngày. Nếu đội làm công việc rồi đội làm phần còn lại thì chậm hơn so với dự kiến ngày. Hỏi hai đội và dự kiến cùng làm chung và xong công việc này trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất của hai đội và là không đổi).

Lời giải:

Gọi thời gian đội làm một mình để hoàn thành toàn bộ công việc là (ngày) và thời gian đội làm một mình để hoàn thành toàn bộ công việc là (ngày). (Điều kiện: )

Trong 1 ngày, đội làm được: (công việc).

Trong 1 ngày, đội làm được: (công việc).

Khi đó cả hai đội cùng làm được: (công việc).

Do đó, thời gian dự kiến để hai đội cùng làm chung và hoàn thành công việc là:

Trường hợp 1: Đội làm công việc rồi đội làm phần còn lại ( công việc).

Khi đó, thời gian đội làm là: (ngày) và thời gian đội làm là: (ngày).

Vì thời gian này chậm hơn dự kiến ngày nên ta có phương trình:

Trường hợp 2: Đội làm công việc rồi đội làm phần còn lại ( công việc).

Khi đó, thời gian đội làm là: (ngày) và thời gian đội làm là: (ngày).

Vì thời gian này chậm hơn dự kiến ngày nên ta có phương trình:

Trừ từng vế của hai phương trình (1), (2) ta được:

Thay vào phương trình (1), ta có:

(Do nên )

TH1:

(Thỏa mãn)

TH2:

(Không thỏa mãn)

Với , suy ra (Thỏa mãn).

Vậy thời gian dự kiến để hai đội cùng hoàn thành công việc khi làm chung là:

Bài 7: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh đồng dạng và .

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; J là giao điểm của AK và BC.

i) Chứng minh .

ii) Biết , tính diện tích tam giác IHJ theo .

Lời giải

a) Xét , ta có (do BE là đường cao).

Vì tam giác BEC vuông tại E, nên 3 điểm B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC. (1)

Xét , ta có (do CF là đường cao).

Vì tam giác BFC vuông tại F, nên 3 điểm B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, F, E, C cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn đường kính BC).

Vậy tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Xét đường tròn (O), có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AK, suy ra .

Xét vuông tại D () và vuông tại (), ta có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn ).

Suy ra (g.g).

Khi đó (hai góc tương ứng).

Xét và , ta có:

(chính là đã chứng minh trên).

(g.g).

Từ đó ta có tỉ số đồng dạng: .

c)

i) Vì tứ giác BFEC nội tiếp suy ra (do cùng cộng với bằng )

Xét và có:

(do )

(do )

(g.g) (*).

Từ (chứng minh câu b), ta cũng có (**).

Từ (*) và (**), suy ra .

Xét , theo định lý Thales đảo, do có tỉ lệ , ta suy ra .

ii) Xét vuông tại F, ta có: .

Mà nên hay

Ta có vuông tại D có nên vuông cân tại D

Suy ra

Trong , .

Xét vuông tại : .

Mặt khác, trong vuông tại ( do chắn nửa đường tròn), ta có .

Suy ra góc .

Ta có vuông cân tại B nên suy ra

Ta có nên

Tương tự

Ta có

nên

Mà nên

Vậy

Suy ra

-HẾT-

Đề bài

Câu 1: Cho hàm số có đồ thị (P).

a) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc (P) (khác gốc toạ độ) có hoành độ bằng tung độ.

Câu 2: Cho phương trình .

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt .

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức .

Câu 3: Bạn A gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất nhiều lần. Các kết quả sau khi kết thúc việc gieo con xúc xắc được bạn Bình thể hiện trong biểu đồ đoạn thẳng sau:

a) Tìm giá trị trung bình cộng về số chấm sau các lần gieo của bạn A.

b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố A: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là số 2”.

c) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố B: “Số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc là một số lớn hơn 3”.

Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng là x (mét), chiều dài là y (mét). Bác Cường dự định xây một cái hồ hình tròn tiếp xúc với các cạnh của khu vườn như hình vẽ.

a) Viết biểu thức tính diện tích phần còn lại của khu vườn sau khi xây hồ theo và .

b) Biết rằng khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và diện tích phần còn lại của khu vườn là . Tìm các kích thước ban đầu của khu vườn. (Lấy giá trị ).

Câu 5: Bác Nam có một khối gỗ có dạng hình trụ với chiều cao là 40 cm và đường kính đáy là 20 cm. Bác Nam muốn tiện khối gỗ này thành một vật trang trí có dạng hình nón có cùng chiều cao và bán kính đáy với khối gỗ hình trụ ban đầu.

a) Tính thể tích phần gỗ bỏ đi khi thực hiện việc tiện khối gỗ hình trụ thành vật trang trí hình nón.

b) Sau khi hoàn thành sản phẩm, bác Nam dự tính phun sơn bề mặt bên ngoài của vật trang trí. Tính diện tích cần phải phun sơn (bao gồm cả mặt đáy).

(Các kết quả làm tròn chính xác đến hàng phần trăm của đơn vị).

Biết công thức tính thể tích khối trụ là (R là bán kính đáy, h là chiều cao); công thức tính thể tích hình nón là ; công thức tính diện tích xung quanh hình nón (l là độ dài đường sinh).

Câu 6: Hai bạn An và Bình đua với nhau bằng ván trượt. Biết rằng nếu cả hai cùng dùng ván trượt thì tốc độ của An gấp 3 lần của Bình, nhưng tốc độ trượt ván của Bình sẽ gấp 3 lần tốc độ chạy bộ của An. Khi tham gia cuộc đua, hai bạn xuất phát cùng một lúc bằng ván trượt, nhưng sau đó 3 phút, ván trượt của An bị hỏng và bạn ấy phải chạy bộ về đích. Biết rằng cả hai bạn về đích cùng lúc, hỏi cuộc đua đã diễn ra trong bao nhiêu phút? Giả sử tốc độ trượt ván, tốc độ chạy bộ của An và tốc độ trượt ván của Bình không thay đổi trong suốt cuộc đua.

Câu 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O.  Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) và đường cao AH của tam giác ABC.

a) Chứng minh và .

b) Vẽ , chứng minh rằng và .

c) Vẽ , BK cắt AH tại I. Giả sử , BC = 10 cm, tính độ dài AI.

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN Trithuchub.com.COM

Câu 1:

Cách giải:

a) Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

Hệ số nên parabol có bề lõm hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Gọi là một điểm thuộc (P).

Vì M có hoành độ bằng tung độ nên:

Có hai giá trị thỏa mãn là (loại vì điểm cần tìm khác gốc toạ độ); .

Vậy điểm thuộc (P) có hoành độ bằng tung độ có tọa độ là (-2;-2).

Câu 2:

Cách giải:

a) Phương trình có .

Ta có .

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt .

b) Ta có:

Theo Viete, ta có , thay vào biểu thức A ta được:

Vậy A = 11.

Câu 3:

Cách giải:

a) Tổng số lần gieo là: lần.

Tổng số chấm thu được sau các lần gieo là:

.

Giá trị trung bình cộng về số chấm sau các lần gieo: .

b) Số lần số chấm 2 xuất hiện là: 5 lần.

Tổng số lần gieo là: 30 lần.

Xác suất thực nghiệm của biến cố A là .

c) Biến cố B là "Số chấm xuất hiện là một số lớn hơn 3". Các số chấm lớn hơn 3 là 4, 5, 6.

Số lần xuất hiện của số chấm 4 là: 6 lần.

Số lần xuất hiện của số chấm 5 là: 5 lần.

Số lần xuất hiện của số chấm 6 là: 4 lần.

Tổng số lần biến cố B xảy ra là:  lần.

Tổng số lần gieo là: 30 lần.

Xác suất thực nghiệm của biến cố B là .

Câu 4:

Cách giải:

a) Diện tích khu vườn hình chữ nhật là: .

Bán kính hồ hình tròn tiếp xúc với các cạnh của khu vườn là: .

Diện tích hồ hình tròn là: .

Vậy biểu thức tính diện tích phần còn lại của khu vườn sau khi xây hồ là: .

b) Vì khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp hai lần chiều rộng nên .

Diện tích phần còn lại của khu vườn là nên ta có:

.

Suy ra (loại); (thoả mãn).

Vậy khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng là 8 m, chiều dài là 16 m.

Câu 5:

Cách giải:

a) Thể tích khối gỗ dạng hình trụ:

.

Thể tích khối gỗ dạng hình nón:

.

Thể tích phần gỗ bỏ đi khi thực hiện việc tiện khối gỗ hình trụ thành vật trang trí hình nón:

.

b) Đường sinh của hình nón:

Diện tích xung quanh hình nón:

Diện tích mặt đáy:

Diện tích cần phun sơn:

Vậy diện tích cần phun sơn là

Câu 6:

Gọi tốc độ trượt ván của Bình là (, m/s) và thời gian cuộc đua đã diễn ra là (, giây).

Vì tốc độ trượt ván của An gấp 3 lần tốc độ trượt ván của Bình nên tốc độ trượt ván của An là (m/s).

Vì tốc độ trượt ván của Bình gấp 3 lần tốc độ chạy bộ của An nên An chạy với tốc độ (m/s).

Thời gian An chạy bộ là (giây).

Quãng đường mà An trượt ván và chạy là (m).

Quãng đường mà Bình trượt ván là (m).

Vì quãng đường của An và Bình đi là như nhau nên ta có phương trình:

Vậy thời gian cuộc đua đã diễn ra là 720 giây = 12 phút.

Câu 7:

a) Vì chắn nửa đường tròn nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét và có:

(góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra .

Khi đó hay .

b) Xét và có

chung

Suy ra nên hay .

Ta có vuông tại F nên A, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC;

         vuông tại H nên A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Suy ra A, F, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Suy ra (góc nội tiếp cùng chắn cùng CF) (1)

Ta có (Do vuông tại F) và

Suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

c) Vì có BK, AH là đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm của .

Khi đó . Mà (do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên .

Lại có  (do cùng vuông góc với AC).

Suy ra BICD là hình bình hành.

Gọi M là giao điểm của DI và BC. Khi đó M là trung điểm của BC và DI (tính chất hình bình hành).

Xét có O là trung điểm của AD và M là trung điểm của DI nên OM là đường trung bình của .

Suy ra hay .

Ta có (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC).

Ta có cân tại O có OM là trung tuyến nên OM đồng thời là phân giác của và cũng là đường cao của .

Khi đó .

Xét vuông tại M có:

cm.

Vậy cm.

Đề bài

Bài 1. (1,5 điểm) Cho hàm số có đồ thị .

a) Vẽ đồ thị trên hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các điểm thuộc có tung độ bằng 18.

Bài 2. (1,0 điểm) Cho phương trình .

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt .

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Bài 3. (1,5 điểm) Biểu đồ tròn cho biết tỉ lệ về số lượng các loại bảo hiểm đã bán được trong tháng 4/2025 của một công ty. Biết rằng trong tháng này, công ty đã bán được 300 gói bảo hiểm các loại cho 300 khách hàng khác nhau.

a) Tính số lượng cụ thể của mỗi loại bảo hiểm mà công ty đã bán được trong tháng 4/2025?

b) Bộ phận chăm sóc khách hàng chọn ngẫu nhiên một khách hàng đã mua bảo hiểm của công ty trong tháng 4/2025 để khảo sát. Tính xác suất của biến cố: "Khách hàng được chọn không mua loại bảo hiểm B".

Bài 4. (1,0 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là (m) và chiều rộng là (m), . Bác Ba làm một lối đi quanh khu vườn rộng 2 mét như hình vẽ. Phần đất còn lại (phần in đậm) dùng để trồng hoa.

a) Viết biểu thức theo biểu diễn diện tích phần đất dùng để trồng hoa và thu gọn biểu thức đó.

b) Giả sử diện tích phần đất trồng hoa là . Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

Bài 5. (1,0 điểm) Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ chứa vừa khít 4 quả bóng tennis có dạng hình cầu như Hình 1. Biết diện tích bề mặt mỗi quả bóng tennis là .

a) Tính bán kính của mỗi quả bóng tennis.

b) Nhà sản xuất thường sử dụng các thùng giấy hình hộp chữ nhật (có nắp) để chứa 12 hộp tennis sao cho các hộp tennis được xếp vừa khít trong thùng giấy như Hình 2. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu giấy để thiết kế một thùng như trên (giả sử các mép nối không đáng kể).

Các kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Cho biết diện tích bề mặt hình cầu là với là bán kính hình cầu. Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là với lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Bài 6. (1,0 điểm) Từ vị trí của một công viên có dạng hình vuông cạnh , hai bạn Hòa và Bình bắt đầu chạy bộ cùng lúc với vận tốc không đổi dọc theo các cạnh của hình vuông và theo hai hướng khác nhau. Biết rằng, hai bạn gặp nhau lần thứ nhất tại vị trí cách một khoảng bằng và gặp lại nhau lần thứ hai tại vị trí cách một khoảng bằng như hình vẽ. Gọi lần lượt là vận tốc của Hòa và Bình.

a) Chứng minh rằng .

b) Tìm giá trị của .

Bài 7. (3,0 điểm) Từ một điểm nằm ngoài đường tròn với , kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn là các tiếp điểm). Vẽ đường kính của đường tròn . Gọi là giao điểm thứ hai của đường thẳng với . Đường thẳng và cắt nhau tại .

a) Chứng minh rằng tam giác vuông và là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng và .

c) Tính theo chu vi và diện tích tam giác .

----- HẾT -----

Lời giải

Bài 1. (1,5 điểm) Cho hàm số có đồ thị .

a) Vẽ đồ thị trên hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các điểm thuộc có tung độ bằng 18.

Lời giải:

a)

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

Hệ số nên parabol có bề lõm hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b)

Gọi là một điểm thuộc (P). Khi đó .

Giả sử M có tung độ bằng 18.

Ta có

.

Có hai giá trị thỏa mãn là .

Vậy các điểm thuộc (P) có tung độ bằng 18 có tọa độ là (6;18), (-6;18).

Bài 2. (1,0 điểm) Cho phương trình .

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt .

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Lời giải:

a)

Phương trình bậc hai có

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b)

Do phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên áp dụng hệ thức Viète ta có

Khi đó

Vậy

Bài 3. (1,5 điểm) Biểu đồ tròn cho biết tỉ lệ về số lượng các loại bảo hiểm đã bán được trong tháng 4/2025 của một công ty. Biết rằng trong tháng này, công ty đã bán được 300 gói bảo hiểm các loại cho 300 khách hàng khác nhau.

a) Tính số lượng cụ thể của mỗi loại bảo hiểm mà công ty đã bán được trong tháng 4/2025?

b) Bộ phận chăm sóc khách hàng chọn ngẫu nhiên một khách hàng đã mua bảo hiểm của công ty trong tháng 4/2025 để khảo sát. Tính xác suất của biến cố: "Khách hàng được chọn không mua loại bảo hiểm B".

Lời giải:

a)

Số lượng bảo hiểm loại A mà công ty đã bán được là: (gói)

Số lượng bảo hiểm loại B mà công ty đã bán được là: (gói)

Số lượng bảo hiểm loại C mà công ty đã bán được là: (gói)

Số lượng bảo hiểm loại D mà công ty đã bán được là: (gói)

Vậy số lượng bảo hiểm loại A, B, C, D mà công ty đã bán được trong tháng 4/2025 lần lượt là 75 gói, 45 gói, 99 gói, 81 gói.

b)

Có 300 kết quả có thể khi chọn ngẫu nhiên một khách hàng đã mua bảo hiểm của công ty trong tháng 4/2025.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố: “Khách hàng được chọn không mua loại bảo hiểm B" là: (kết quả)

Xác suất của biến cố “Khách hàng được chọn không mua loại bảo hiểm B” là:

Vậy xác suất của biến cố “Khách hàng được chọn không mua loại bảo hiểm B” là .

Bài 4. (1,0 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là (m) và chiều rộng là (m), . Bác Ba làm một lối đi quanh khu vườn rộng 2 mét như hình vẽ. Phần đất còn lại (phần in đậm) dùng để trồng hoa.

a) Viết biểu thức theo biểu diễn diện tích phần đất dùng để trồng hoa và thu gọn biểu thức đó.

b) Giả sử diện tích phần đất trồng hoa là . Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

Lời giải:

a)

Chiều rộng của phần đất dùng để trồng hoa là (m)

Chiều dài của phần đất dùng để trồng hoa là (m)

Diện tích phần đất dùng để trồng hoa là ()

Thu gọn biểu thức S:

Vậy biểu thức biểu diễn diện tích phần đất dùng để trồng hoa là ().

b)

Diện tích phần đất trồng hoa là nên ta có .

Giải phương trình:

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

(thỏa mãn điều kiện)

(loại)

Vậy chiều rộng của khu vườn là 52 m, chiều dài của khu vườn là m.

Bài 5. (1,0 điểm) Một hộp đựng bóng tennis có dạng hình trụ chứa vừa khít 4 quả bóng tennis có dạng hình cầu như Hình 1. Biết diện tích bề mặt mỗi quả bóng tennis là .

a) Tính bán kính của mỗi quả bóng tennis.

b) Nhà sản xuất thường sử dụng các thùng giấy hình hộp chữ nhật (có nắp) để chứa 12 hộp tennis sao cho các hộp tennis được xếp vừa khít trong thùng giấy như Hình 2. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu giấy để thiết kế một thùng như trên (giả sử các mép nối không đáng kể).

Các kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Cho biết diện tích bề mặt hình cầu là với là bán kính hình cầu. Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là với lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

a)

Vì diện tích bề mặt mỗi quả bóng tennis là nên

Suy ra

Do đó (cm)

Vậy bán kính mỗi quả bóng tennis khoảng 3,25cm.

b)

Mỗi hộp tennis chứa 4 quả tennis nên chiều cao của hộp tennis là:

Đường kính đáy một hộp tennis là: .

Vì thùng giấy chứa được 12 hộp tennis (3x4) nên

chiều dài thùng giấy là: ;

chiều rộng của thùng giấy là: ;

chiều cao của thùng giấy chính là chiều cao của hộp tennis nên chiều cao của thùng giấy là 26cm

Diện tích giấy để thiết kế một thùng (diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật) là:

Vậy cần tối thiểu giấy để thiết kế một thùng như trên.

Bài 6. (1,0 điểm) Từ vị trí của một công viên có dạng hình vuông cạnh , hai bạn Hòa và Bình bắt đầu chạy bộ cùng lúc với vận tốc không đổi dọc theo các cạnh của hình vuông và theo hai hướng khác nhau. Biết rằng, hai bạn gặp nhau lần thứ nhất tại vị trí cách một khoảng bằng và gặp lại nhau lần thứ hai tại vị trí cách một khoảng bằng như hình vẽ. Gọi lần lượt là vận tốc của Hòa và Bình.

a) Chứng minh rằng .

b) Tìm giá trị của .

Lời giải:

a) Ta có vuông tại D nên

và

Tại lần gặp nhau đầu tiên bạn Bình đi được quãng đường là

Hoà đi được quãng đường là:

Do thời gian 2 bạn đi từ lúc xuất phát đến khi gặp nhau là như nhau nên quãng đường đi của Hoà và Bình tỉ lệ thuận với vận tốc đi tương ứng của hai bạn.

b) Tại lần gặp thứ hai ở F thì Bình đi quãng đường là

b) Hoà đi quãng đường là

Khi đó ta có phương trình

Do nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Suy ra

Suy ra với

Giải phương trình ta được (thoả mãn) hoặc (không thoả mãn)

Vậy km

Bài 7. (3,0 điểm) Từ một điểm nằm ngoài đường tròn với , kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn là các tiếp điểm). Vẽ đường kính của đường tròn . Gọi là giao điểm thứ hai của đường thẳng với . Đường thẳng và cắt nhau tại .

a) Chứng minh rằng tam giác vuông và là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng và .

c) Tính theo chu vi và diện tích tam giác .

Lời giải:

a) Vì tam giác BED nội tiếp đường tròn đường kính BD nên tam giác BED vuông tại E

Khi đó

Do đó tam giác ABE vuông tại E

Suy ra A, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính AB (1)

Ta có: (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (bán kính)

Suy ra AO là đường trung trực của BC tại trung điểm H của BC

Do đó vuông tại H

Nên A, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB (2)

Từ (1) và (2) ta có A, E, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Vậy tứ giác ABHE nội tiếp

b) Xét và có:

chung

Suy ra

nên

Suy ra

mà nên

Suy ra

Mà chung nên

Suy ra

Mà (ABHE nội tiếp) nên

c) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABO vuông tại B ta có

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABD vuông tại B ta có

Ta có (g.g) nên

Suy ra

Xét và có

chung

Suy ra

Do đó

Mà nên

Mặt khác chung suy ra (g.g)

Do đó hay

Vì nên , suy ra

Vì nên ,

suy ra

Chu vi tam giác HED là:

Ta có:

Vì nên

Vì nên

Khi đó

Vậy chu vi, diện tích tam giác DEH lần lượt là .

Đề bài

Câu 1: Cho hàm số

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.

b) Tìm những điểm M thuộc (P) có tung độ và hoành độ bằng nhau.

Câu 2: Cho phương trình

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 

Câu 3: Biên độ nhiệt là khoảng cách chênh lệch giữa nhiệt độ cao nhất và nhiệt độ thấp nhất trong cùng một khoảng thời gian nhất định (một ngày, một tháng, một năm,…) của cùng một vùng địa lí. Biểu đồ cột kép dưới đây biểu diễn nhiệt độ (độ C) các ngày trong một tuần tại Thành phố Hồ Chí Minh.

a) Trong tuần này, ngày có biên độ nhiệt lớn nhất của thành phố Hồ Chí Minh là thứ mấy?

b) Chọn ngẫu nhiên một ngày trong tuần, tính xác suất của các biến cố sau:

A: “Ngày được chọn có nhiệt độ cao nhất không quá 35 độ C”.

B: “Ngày được chọn có biên độ nhiệt nhỏ hơn 12 độ C”.

Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật (phần in đậm) có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 70m và 30m. Người ta dự tính mở rộng thêm khu vườn bằng cách cải tạo thêm (mét) về phía ngoài của chiều dài và chiều rộng khu vườn như hình vẽ.

a) Viết biểu thức S biểu diễn theo diện tích của khu vườn hình chữ nhật sau khi mở rộng.

b) Biết rằng sau khi mở rộng thì diện tích của khu vườn lớn hơn diện tích ban đầu .

Tìm giá trị của (làm tròn đến hàng phần muời của mét).

Câu 5: Một quả dưa hấu không hạt ruột đỏ dạng hình cầu có đường kính 25cm và phần vỏ dày 2cm.

a) Coi phần ruột màu đỏ cũng có dạng hình cầu có cùng tâm với quả dưa hấu. Tính thể tích phần ruột quả dưa hấu.

(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của )

b) Người ta ép phần ruột màu đỏ của quả dưa hấu trên thì thể tích nước ép thu được bằng thể tích phần ruột. Nước ép dưa hấu sẽ được đựng trong các ly thuỷ tinh giống nhau, phần lòng trong dạng hình trụ có chiều cao và đường kính đáy lòng trong là Mỗi ly chỉ chứa thể tích. Hỏi để đựng nước ép của quả dưa hấu nói trên thì cần ít nhất bao nhiêu cái ly?

Biết công thức thể tích hình trụ là (R là bán hính đáy; h là chiều cao); công thức tính thể tích hình cầu là

Câu 6: Thép không gỉ Ferritic là họ thép hợp kim có chứa từ 12 đến 27 phần trăm crôm. Một nhà máy luyện thép hiện có sẵn một lượng hợp kim thép chứa crôm và một lượng hợp kim thép chứa crôm. Giả sử trong quá trình luyện thép các nguyên liệu không bị hao hụt.

a) Tính khối lượng hợp kim thép mỗi loại từ hai loại thép trên dùng để luyện được 500 tấn thép chứa crôm.

b) Nhà máy dự định luyện ra loại thép không gỉ Ferritic từ 100 tấn thép chứa crôm và tấn thép chứa crôm. Hỏi nằm trong khoảng nào?

Câu 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (E khác B, F khác C). Các đoạn thẳng BF và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC tại K.

a) Chứng minh , từ đó suy ra tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Gọi D là giao điểm của AH và (O) (D nằm giữa A và H), chứng minh và

c) Trong trường hợp góc và , tính độ dài đoạn thẳng EF và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN Trithuchub.com.COM

Câu 1 (TH):

Cách giải:

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm .

Ta được đồ thị hàm số như sau:

b) Tìm những điểm M thuộc (P) có tung độ và hoành độ bằng nhau.

Điểm có tung độ và hoành độ bằng nhau có dạng thì

Suy ra

và

Vậy những điểm M thuộc (P) có tung độ và hoành độ bằng nhau là và .

Câu 2 (TH):

Cách giải:

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình có nên ta có:

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

Áp dụng định lí Viète, ta có:

Ta có:

Vậy .

Câu 3 (TH):

Cách giải:

a) Dựa vào biểu đồ cột kép, ta có biên độ nhiệt của các ngày trong tuần là:

Thứ 2: , thứ 3: , thứ 4: ; thứ 5: ;

Thứ 6: ; thứ 7: ; chủ nhật:

Vậy ngày có biên độ nhiệt lớn nhất trong tuần của thành phố Hồ Chí Minh là thứ 7.

b) Ta có số ngày có nhiệt độ cao không quá 35 độ C là 3 (ngày).

Suy ra số phần tử của biến cố A là 3.

Xác suất để ngày được chọn có nhiệt độ cao nhất không quá 35 độ C là .

Có số ngày có biên độ nhiệt nhỏ hơn 12 độ C là 5 (ngày).

Suy ra số phần tử của biến cố B là 5.

Xác suất để ngày được chọn có biên độ nhiệt nhỏ hơn 12 độ C là .

Câu 4 (VD):

Cách giải:

a) Viết biểu thức S biểu diễn theo diện tích của khu vườn hình chữ nhật sau khi mở rộng.

Chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật sau khi mở rộng là:

Chiều dài của khu vườn hình chữ nhật sau khi mở rộng là:

Diện tích của khu vườn hình chữ nhật sau khi mở rộng là:

b) Biết rằng sau khi mở rộng thì diện tích của khu vườn lớn hơn diện tích ban đầu .

Tìm giá trị của (làm tròn đến hàng phần muời của mét).

ĐKXĐ:

Diện tích của khu vườn ban đầu là: 70.30 = 2100 (m²)

Vì sau khi mở rộng thì diện tích của khu vườn lớn hơn diện tích ban đầu  nên ta có phương trình:

Ta có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy giá trị của X là khoảng 5,2 m.

Câu 5 (VD):

Cách giải:

a) Bán kính của phần ruột quả dưa hấu là:

Thể tích phần ruột của quả dưa hấu là:

b) Thể tích nước ép dưa hấu là:

Thể tích của phần đựng nước ly thuỷ tinh là:

Ta có:

Do đó cần ít nhất 29 cái ly để đựng hết nước ép của quả dưa hấu.

Câu 6 (VD):

Cách giải:

a) Tính khối lượng hợp kim thép mỗi loại từ hai loại thép trên dùng để luyện được 500 tấn thép chứa crôm.

Gọi a là số tấn hợp kim thép chứa 10% crom cần dùng (a > 0)

Khi đó, 500 – a là số tấn hợp kim thép 30% cần dùng.

Ta có:

a.10% + (500 – a).30% = 500.16%

10a + (500 – a).30 = 500.16

a = 350 (TMĐK)

Vậy số hợp kim thép chứa 10% crom cần dùng là 350 tấn, số hợp kim thép chứa 30% cần dùng là 150 tấn.

b) Nhà máy dự định luyện ra loại thép không gỉ Ferritic từ 100 tấn thép chứa crôm và tấn thép chứa crôm. Hỏi nằm trong khoảng nào?

Ta có số crôm từ 100 tấn thép chứa crôm là (tấn)

Số crôm từ tấn thép chứa crom: (tấn)

Tổng số tấn thép là (tấn)

Phần trăm crôm có trong tổng số tấn thép nhà máy dự định luyện ra là:

Theo đầu bài, thép không gỉ Ferritic có chứa từ 12 đến 27 phần trăm crôm, ta có:

Vậy x nằm trong khoảng từ đến

Câu 7 (VD):

Cách giải:

a) Ta có  (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Khi đó vuông tại E nên A,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Tương tự vuông tại F nên A,H,F cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Vậy A, E, F, H cùng thuộc đường trong đường kính AH hay tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Ta có  (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét và có

chung

Nên 

Suy ra hay

Do  nên (hai góc tương ứng)

Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Nên (đpcm)

c) Do vuông tại F  nên

Mà là góc nội tiếp chắn cung EF và là góc ở tâm chắn cung EF nên

Xét cân tại O (do ) có nên là tam giác đều

Suy ra cm.

Xét có đường cao CE và BF cắt nhau tại H nên H là trực tâm

Suy ra

Xét và có (đối đỉnh) và

Suy ra hay

Kết hợp suy ra  

Suy ra  

Suy ra

Xét tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên bán kính bằng .

Đề bài

Câu 1: Cho parabol và đường thẳng .

a) Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Câu 2: Cho phương trình có 2 nghiệm là .

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Câu 3: Một nhà khoa học đã đưa ra công thức tính số cân nặng lý tưởng của con người theo chiều cao và giới tính như sau: trong đó là cân nặng , T là chiều cao nếu là nam và nếu là nữ.

a) Bạn Hạnh (nữ) cao 1,58 mét. Hỏi cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là bao nhiêu ?

b) Bạn Phúc (nam) có cân nặng . Để cân nặng này là lý tưởng thì chiều cao cần đạt của Phúc là bao nhiêu?

Câu 4: Cửa hàng niêm yết giá một bông hồng là 15000 dồng. Nếu khác hàng mua nhiều hơn 10 bông thì từ bông thứ 11 trở đi, mỗi bông hồng được giảm trên giá niêm yết. Nếu mua nhiều hơn 20 bông thì từ bông thứ 21 trở đi, mỗi bông được giảm thêm trên giá đã giảm.

a) Nếu khách hàng mua 30 bông hồng tại cửa hàng thì phải trả bao nhiêu tiền ?

b) Bạn Thảo đã mua một số bông hồng tại cửa hàng với số tiền là 555000 đồng. Hỏi bạn Thảo đã mua bao nhiêu bông hồng ?

Câu 5: Chị Lan đun sôi nước bằng ấm điện. Biết rằng mối liên hệ giữa công suất hao phí của âm điện và thời gian đun (giây) được mô hình hóa bởi một hàm số bậc nhất có dạng và có đồ thị như hình bên.

a) Hãy xác định các hệ số của a và b

b) Nếu đun nước với công suất hao phí là thì thời gian đun là bao lâu?

Câu 6: Bạn Nam dự định tổ chức buổi tiệc sinh nhật và chọn loại ly có phần chứa nước dạng hình nón với bán kính đáy và độ dài đường sinh để khách uống nước trái cây.

a) Tính thể tích phần chứa nước của ly (ghi kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết công thức thể tích hình nón là .

(với là bán kính đáy hình nón; là chiều cao hình nón).

b) Bạn Nam cần chuẩn bị một số hộp nước trái cây có lượng nước trong mỗi hộp là 1,2 lít. Biết rằng buổi tiệc sinh nhật có 14 người (đã bao gồm Nam). Nếu mỗi người trung bình uống 3 ly nước trái cây và lượng nước rót bằng thể tích ly thì bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu hộp nước trái cây?

Biết 1 lít .

Câu 7: Nhà bạn Khanh có hai thùng đựng sữa, thùng thứ nhất có thể tích 10 lít, thùng thứ hai có thể tích 8 lít. Biết rằng cả hai thùng đều đang chứa một lượng sữa và tổng lượng sữa ở hai thùng lớn hơn 10 lít. Bạn Khanh muốn xác định lượng sữa ở mỗi thùng nhưng không có dụng cụ đo thể tích nên bạn đã nghĩ ra cách làm như sau:

- Đầu tiên, Khanh đổ sữa từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ nhất bằng lượng sữa so với ban đầu.

- Sau đó, Khanh đổ sữa từ thùng thứ hai sang thùng thứ nhất cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ hai bằng lượng sữa so với thời điểm ban đầu.

Hỏi thời điểm ban đầu mỗi thùng chứa bao nhiêu lít sữa?

Câu 8: Cho tam giác nhọn có đường cao và nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là hình chiếu của lên các cạnh . Đường kính của cắt tại và cắt tại khác .

a) Chứng minh các tứ giác và nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác nội tiếp và vuông góc với tại .

c) Tia cắt tại và cắt tại . Chứng minh và ba điểm thẳng hàng.

-----HẾT-----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) Chọn các điểm và vẽ đồ thị.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

a) Vẽ đồ thị (d)

Với

Với

Đồ thị là đường thẳng đi qua 2 điểm và

Vẽ đồ thị (P)

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

Hệ số nên parabol có bề lõm hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số và trên cùng hệ trục toạ độ như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta được:

Với

Với

Vậy cắt tại 2 giao điểm có tọa độ là và .

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng định lí vi-ét

Cách giải:

Phương trình có 2 nghiệm là nên áp dụng định lí Vi-ét ta có:

Ta có:

Vì là nghiệm của phương trình nên .

Thay vào biểu thức ta được:

.

Vậy .

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng công thức

Cách giải:

a) Bạn Hạnh (nữ) cao 1,58 mét nên .

Thay vào công thức ta được:

Vậy cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là .

b) Bạn Phúc (nam) có cân nặng nên .

Thay vào công thức ta được:

Vậy chiều cao lý tưởng của bạn Phúc là .

Câu 4 (VD):

Phương pháp:

Cách giải:

a) Số tiền phải trả khi mua 10 bông đầu tiên là: (đồng).

Từ bông thứ 11 đến bông thứ 20 có giá tiền mỗi bông là (đồng)

Số tiền phải trả khi mua 10 bông từ bông thứ 11 đến 20 là: (đồng).

Từ bông thứ 21 đến bông thứ 30 có giá tiền mỗi bông là (đồng)

Số tiền phải trả khi mua 10 bông từ bông thứ 21 đến 30 là: (đồng).

Vậy số tiền mua 30 bông hoa là: (đồng).

b) Vì số tiền mua 30 bông hồng là 393000 đồng nên bạn Thảo mua hơn 30 bông.

Số tiền một bông hoa khi mua trên 20 bông là: 10800 (đồng)

Số tiền còn lại sau khi mua 30 bông hồng là: (đồng)

Với 162000 bạn Thảo mua thêm số hoa là: (bông).

Vậy với 555000 đồng bạn Thảo mua tổng cộng là bông.

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

a) Dựa vào đồ thị ta suy ra hệ phương trình và giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số để tìm a và b.

b) Từ câu a, ta xác định được , sau đó giải và tìm ra t.

Cách giải:

a) Dựa vào đồ thị ta có:

Giải hệ phương trình ta thu được và

b) Ta có mô hình giữa và là .

Với thì ta có .

Từ đây giải và thu được giây.

Câu 6 (VD):

Phương pháp:

a) Áp dụng công thức .

b) Tìm lượng nước 14 bạn uống, từ đó tìm được số hộp nước trái cây bạn Nam cần chuẩn bị.

Cách giải:

a) Chiều cao phần chứa nước của ly là:

Thể tích phần chứa nước của ly là:

b) Đổi lít

Lượng nước rót ra của một ly là: (lít)

Lượng nước mỗi bạn uống là: (lít)

Lượng nước 14 bạn uống là: (lít)

Số hộp nước trái cây bạn Nam cần chuẩn bị là: (hộp)

Vậy:

a) Thể tích phần chứa nước của ly là .

b) Bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất 5 hộp nước trái cây.

Câu 7 (VD):

Cách giải:

Gọi số lít sữa ở thời điểm ban đầu của thùng thứ nhất là

Gọi số lít sữa ở thời điểm ban đầu của thùng thứ hai là

Do tổng số lượng sữa của 2 thùng lớn hơn 10 lít nên .

Giả sử lần đầu tiên Khanh đổ lít sửa thùng thứ nhất sang thùng thứ hai cho đầy thì ta được:

Giả sử lần 2, Khanh đổ lít sữa từ thùng hai sang thùng thứ nhất cho đầy thì ta có:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

(thỏa mãn)

Vậy ban đầu thùng 1 có 6 lít sữa, thùng 2 có 5 lít sữa.

Câu 8 (VDC):

Cách giải:

a) Chứng minh các tứ giác AEHF và ALHF nội tiếp.

+) Chứng minh nội tiếp.

Vì .

Xét tứ giác AEHF có: .

Mà hai đỉnh là hai đỉnh đối diện của tứ giác .

=> là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

+) Chứng minh ALHF nội tiếp.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) .

Xét tứ giác ALHF có: .

Mà hai đỉnh là hai đinh đối diện của tứ giác ALHF.

=> ALHF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AD vuông góc với EF tại K.

+) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp

Vì là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mà (do tam giác vuông tại ).

(do tam giác AHC vuông tại H)

(kề bù)

Mà hai đỉnh là hai đỉnh đối diện của tứ giác .

=> BEFC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

+) Chứng minh vuông góc với tại .

Vì là tứ giác nội tiếp (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn vuông tại .

(hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông).

Mà

vuông tại (Tam giác có tổng hai góc bằng ).

hay tại (đpcm).

c) Tứ giác nội tiếp đường tròn nên . (4)

Từ (1) và (4) suy ra .

Do đó, hai tam giác và đồng dạng góc-góc.

Suy ra .

Vì thế, ta có .

Lại có (Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại có đường cao ).

Do đó, . Suy ra .

Do các tứ giác nội tiếp nên năm điểm cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra tứ giác nội tiếp.

Vì thế (cùng bù với ). (3)

Lập luận tương tự với tứ giác nội tiếp , ta có . (4)

Từ (3) và (4) suy ra .

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau là cùng nhìn cạnh dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác nội tiếp.

Suy ra (cùng bù với

Từ (1) và (5) suy ra .

Lại có (do tứ giác nội tiếp).

Vì thế, ta có .

Vậy ba điểm thẳng hàng.

-----HẾT-----

Đề bài

Bài 1 (1,5 điểm) Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ   và trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Bài 2 (1 điểm). Cho phương trình   có nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Bài 3 (1 điểm). Mối quan hệ giữa thang nhiệt độ F (Fahrenheit) và thang nhiệt độ C (Celsius) được cho bởi công thức trong đó là nhiệt độ tính theo độ C và là nhiệt độ tính theo độ F. Ví dụ C tương ứng với F.

a) Hỏi C tương ứng với bao nhiêu độ F ?

b) Các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ giữa là số tiếng kêu của một con dế trong một phút và là nhiệt độ cơ thể của nó bởi công thức trong đó là nhiệt độ tín theo độ F. Hỏi nếu con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ của nó khoảng bao nhiêu độ C? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Bài  (0,75 điểm) Kim tự tháp Kheops – Ai Cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh (hình vẽ). Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214 m, cạnh đáy của nó dài 230 m.

a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

b) Cho biết thể tích của hình chóp được tính theo công thức , trong đó là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính theo thể tích của kim tự tháp (làm tròn đến hàng nghìn).

Bài 5 (1 điểm). Siêu thị A thực hiện chương trình giảm giá cho khách hàng mua loại túi bột giặt 4 kg như sau: Nếu mua 1 túi thì được giảm giá 10 000 đồng so với giá niêm yết. Nếu mua 2 túi thì túi thứ nhất được giảm 10 000 đồng và túi thứ hai được giảm 20 000 đồng so với giá niêm yết. Nếu mua từ 3 túi trở lên thì ngoài 2 túi đầu được hưởng chương trình giảm giá như trên, từ túi thứ ba trở đi mỗi túi sẽ được giảm 20% so với giá niêm yết.

a) Bà Tư mua 5 túi bột giặt loại 4 kg ở siêu thị A thì phải trả số tiền là bao nhiêu, biết rằng loại túi bột giặt mà bà Tư mua có giá niêm yết là 150 000 đồng/túi.

b) Siêu thị B lại có hình thức giảm giá khác cho loại túi bột giặt nêu trên là: nếu mua từ 3 túi trở lên thì sẽ giảm giá 15% cho mỗi túi. Nếu bà Tư mua 5 túi bột giặt thì bà Tư nên mua ở siêu thị nào để số tiền phải trả ít hơn? Biết rằng giá niêm yết của hai siêu thị là như nhau.

Bài 6 (1 điểm). Nhiệt độ sôi của nước không phải lúc nào cũng là mà phụ thuộc vào độ cao của nơi đó so với mực nước biển. Chẳng hạn Thành phố Hồ Chí Minh có độ cao xem như ngang mực nước biển thì nước có nhiệt độ sôi là nhưng ở thủ đô La Paz của Bolivia, Nam Mỹ có độ cao so với mực nước biển thì nhiệt độ sôi của nước là . Ở độ cao trong khoảng vài , người ta thấy mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất có đồ thị như sau:

Bài 7(1 điểm) Năm học 2017 – 2018, trường THCS Tiến Thành có ba lớp 9 gồm 9A, 9B, 9C trong đó lớp 9A có 35 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh. Tổng kết cuối năm, lớp 9A có 15 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, lớp 9B có 12 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, lớp 9C có 20% học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi và toàn khối 9 có 30% học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi. Hỏi lớp 9C có bao nhiêu học sinh?

Bài 8 (3 điểm).  Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: AH vuông góc với BC.

b) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp.

c) Cho . Tính độ dài đoạn DE và tỉ số diện tích của hai tam giác AED và ABC.

Lời giải chi tiết

Bài 1 (1,5 điểm)

Cho parabol  và đường thẳng

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị các điểm thuộc đồ thị hàm số sau đó vẽ đồ thị hàm số trên trục tọa độ.

b) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị để tìm hoành độ giao điểm từ đó tìm tung độ giao điểm của hai đồ thị.

Cách giải:

a) Vẽ   và  trên cùng hệ trục tọa độ.

+) Vẽ đồ thị hàm số

 Ta có bảng giá trị:

Đồ thị hàm số (P) có hình dạng đường cong đi qua các điểm

+) Vẽ đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua các điểm

Đồ thị hàm số:

b) Tìm tọa độ giao điểm của  và  bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của   và là nghiệm của phương trình:

Vậy đường thẳng   cắt tại hai điểm phân biệt: và

Bài 2 (1 điểm).

Cho phương trình   có  nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

Cách giải:

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

.

Vậy .

Bài 3 (1 điểm):

Mối quan hệ giữa thang nhiệt độ F (Fahrenheit) và thang nhiệt độ C (Celsius) được cho bởi công thức  trong đó  là nhiệt độ tính theo độ C và  là nhiệt độ tính theo độ F. Ví dụ  C tương ứng với  F.

Phương pháp:

+) Thay nhiệt độ có đơn vị độ C vào công thức để tìm độ F.

Cách giải:

a) Hỏi  C tương ứng với bao nhiêu độ F ?

Với C thay vào biểu thức ta được F.

Vậy C tương ứng với 77 độ F.

b) Các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ giữa  là số tiếng kêu của một con dế trong một phút và  là nhiệt độ cơ thể của nó bởi công thức  trong đó  là nhiệt độ tín theo độ F. Hỏi nếu con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ của nó khoảng bao nhiêu độ C? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Con dế kêu 106 tiếng trong một phút suy ra

Mà suy ra C (làm tròn đến hàng đơn vị)

Vậy khi con dế kêu 106 tiếng trong một phút thì nhiệt độ của nó khoảng 20 độ C.

Bài 4:

Phương pháp:

+) Áp dụng định lý Pi-ta-go và công thức tính thể tích của khối chóp:

Cách giải:

a)      Chứng minh AH vuông góc với BC

 Ta có các góc

(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác ABC có H là trực tâm tam giác ABC

.

b) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp

Kéo dài AH cắt BC tại F.

Xét tứ giác AEHD có Tứ giác AEDH nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Lại có K là trung điểm của AH là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.

cân tại K (1)

Xét tam giác OBD có cân tại O   (2)

Từ (1) và (2)

Chứng minh tương tự ta có:

cân tại K

Tam giác OCE có OC = OE cân tại

Xét tứ giác OEKD có Tứ giác OEKD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

 c) Cho . Tính độ dài đoạn DE và tỉ số diện tích hai tam giác AED và ABC.

 Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn (O)

Mà (kề bù)

+) Xét và có:

: chung

  (cmt)

đồng dạng (g-g)

(1)

+) vuông tại D

  (2)

 Từ (1), (2) suy ra :

Vậy .

+) đồng dạng với tỉ số đồng dạng

Khi đó: .

Đề bài

 Bài 1: (1,5 điểm) Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) có đồ thị (P).

a) Vẽ (P).

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) có hoành độ bằng 6.

Bài 2: (1,0 điểm) Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 4 = 0\)

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 + \frac{1}{2}{x_1} + \frac{1}{2}{x_2}\)

Bài 3: (1,5 điểm) Kết quả khảo sát đối với một số bạn học sinh khối 9 về số giờ sử dụng điện thoại trong một ngày được thể hiện qua biểu đồ dưới đây.

a) Tính số học sinh đã tham gia cuộc khảo sát.

b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố A: "Học sinh được chọn có thời gian sử dụng điện thoại 3 giờ một ngày".

c) Nhà trường khuyến cáo học sinh không nên sử dụng điện thoại nhiều hơn 3 giờ một ngày. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố B: "Học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo của nhà trường".

Bài 4: (1,0 điểm) Bác Năm có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều rộng là \(x{\rm{ (m)}}\), (\(x > 11\)) và chiều dài hơn chiều rộng \(9{\rm{ (m)}}\). Bác Năm dùng một phần đất hình chữ nhật để làm nhà ở như hình vẽ.

a) Viết biểu thức thu gọn biểu diễn diện tích phần làm nhà ở theo \(x\).

b) Tìm chiều dài, chiều rộng của mảnh đất, biết diện tích mảnh đất gấp \(8\) lần diện tích làm nhà ở.

Bài 5: (1,0 điểm)

Một bình inox có cấu tạo gồm hai phần: phần thân có dạng hình trụ có chiều cao 20 cm và bán kính đáy là 4 cm, phần nắp có dạng nửa hình cầu có đường kính bằng với đường kính đáy của phần thân.

a) Tính thể tích không gian bên trong của cái bình trên nếu bỏ qua độ dày của vỏ bình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).

b) Nhà sản xuất muốn phủ một lớp sơn tĩnh điện lên mặt ngoài của vỏ bình (gồm phần thân, phần nắp và đáy bình), giả sử chi phí sơn là 210 000 đồng/m². Tính chi phí để sơn một cái bình inox (làm tròn kết quả đến nghìn đồng).

Biết công thức tính thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h\), diện tích xung quanh hình trụ là \(S = 2\pi Rh\) với R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ. Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\), diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2}\) với \(R\) là bán kính. Lấy \(\pi  = 3,14\).

Bài 6: (1,0 điểm)

Hai đội \(A\) và \(B\) dự kiến cùng làm chung và xong công việc trong một số ngày. Nếu đội \(A\) làm \(\frac{1}{3}\) công việc rồi đội \(B\) làm phần còn lại thì chậm hơn so với dự kiến \(6\) ngày. Nếu đội \(B\) làm \(\frac{1}{3}\) công việc rồi đội \(A\) làm phần còn lại thì chậm hơn so với dự kiến \(4\) ngày. Hỏi hai đội \(A\) và \(B\) dự kiến cùng làm chung và xong công việc này trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất của hai đội \(A\) và \(B\) là không đổi).

Bài 7: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh \(\Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta AKC\) và \(AF \cdot AK = AH \cdot AC\).

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; J là giao điểm của AK và BC.

i) Chứng minh \(HK\parallel IJ\).

ii) Biết \(\widehat {BAC} = {60^\circ },\widehat {ACB} = {45^\circ }\), tính diện tích tam giác IHJ theo \(R\).

-HẾT-

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO 10 NĂM HỌC 2026 – 2027

MÔN TOÁN – THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

Bài 1: (1,5 điểm) Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) có đồ thị (P).

a) Vẽ (P).

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) có hoành độ bằng 6.

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị của hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^2}\) là một đường Parabol đi qua gốc toạ độ \(O(0;0)\) và các điểm \(( - 4;4)\), \(( - 2;1)\), \((2;1)\), \((4;4)\). Đồ thị nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.

Vì hệ số \(a = \frac{1}{4} > 0\) nên đồ thị có bề lõm hướng lên trên, điểm \(O(0;0)\) là điểm thấp nhất của đồ thị.

b) Theo đề bài, điểm M có hoành độ bằng 6, tức là \({x_M} = 6\).

Vì điểm M nằm trên đồ thị (P) có phương trình \(y = \frac{1}{4}{x^2}\), nên tọa độ của điểm M phải thỏa mãn phương trình này.

Thay \({x_M} = 6\) vào phương trình hàm số, ta có tung độ \({y_M}\):

\({y_M} = \frac{1}{4} \cdot {6^2}\)

\({y_M} = 9\)

Vậy toạ độ điểm \(M\) là \((6;9)\).

Bài 2: (1,0 điểm) Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 4 = 0\)

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2 + \frac{1}{2}{x_1} + \frac{1}{2}{x_2}\)

Lời giải:

a) Xét phương trình \(2{x^2} - 3x - 4 = 0\) có các hệ số \(a = 2,b =  - 3,c =  - 4\).

Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {( - 3)^2} - 4 \cdot 2 \cdot ( - 4) = 9 + 32 = 41\).

Vì \(\Delta  = 41 > 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = \frac{3}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 4}}{2} =  - 2\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(A = x_1^2 + x_2^2 + \frac{1}{2}{x_1} + \frac{1}{2}{x_2}\)

\(A = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} + \frac{1}{2}({x_1} + {x_2})\)

\(A = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 2 \cdot ( - 2) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}\)

\(A = \frac{9}{4} + 4 + \frac{3}{4}\)

\(A = 7\)

Vậy giá trị của biểu thức A là 7.

Bài 3: (1,5 điểm) Kết quả khảo sát đối với một số bạn học sinh khối 9 về số giờ sử dụng điện thoại trong một ngày được thể hiện qua biểu đồ dưới đây.

a) Tính số học sinh đã tham gia cuộc khảo sát.

b) Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố A: "Học sinh được chọn có thời gian sử dụng điện thoại 3 giờ một ngày".

c) Nhà trường khuyến cáo học sinh không nên sử dụng điện thoại nhiều hơn 3 giờ một ngày. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh được khảo sát. Tính xác suất của biến cố B: "Học sinh được chọn đã thực hiện đúng khuyến cáo của nhà trường".

Lời giải:

a) Số học sinh tham gia khảo sát: 12 + 28 + 30 + 20 + 10 = 100.

b) Phép thử: Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm khảo sát

Không gian mẫu \(\Omega \): Là tập hợp gồm tất cả 100 học sinh đã tham gia cuộc khảo sát nên \(n\left( \Omega  \right) = 100\).

Vì việc chọn ngẫu nhiên được thực hiện một cách công bằng, không thiên vị, nên mỗi học sinh trong nhóm 100 người đều có cơ hội được chọn là như nhau. Do đó, các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng.

Biến cố A: "Học sinh được chọn có thời gian sử dụng điện thoại 3 giờ một ngày".

Dựa vào cột tương ứng số 3 trên trục hoành của biểu đồ, số lượng học sinh sử dụng điện thoại 3 giờ là 30 học sinh.

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(n(A) = 30\).

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{30}}{{100}} = \frac{3}{{10}} = 0,3\).

c) Theo đề bài, khuyến cáo là "không nên sử dụng điện thoại nhiều hơn 3 giờ một ngày”, nghĩa là số giờ sử dụng hợp lệ phải nhỏ hơn hoặc bằng 3 giờ (bao gồm các mức: 1 giờ, 2 giờ, và 3 giờ).

Số học sinh thực hiện đúng lời khuyên này là: \(12 + 28 + 30 = 70\) (học sinh).

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là \(n(B) = 70\).

Xác suất của biến cố \(B\) là: \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{70}}{{100}} = \frac{7}{{10}} = 0,7\).

Bài 4: (1,0 điểm) Bác Năm có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều rộng là \(x{\rm{ (m)}}\), (\(x > 11\)) và chiều dài hơn chiều rộng \(9{\rm{ (m)}}\). Bác Năm dùng một phần đất hình chữ nhật để làm nhà ở như hình vẽ.

a) Viết biểu thức thu gọn biểu diễn diện tích phần làm nhà ở theo \(x\).

b) Tìm chiều dài, chiều rộng của mảnh đất, biết diện tích mảnh đất gấp \(8\) lần diện tích làm nhà ở.

Lời giải:

a) Chiều dài phần nhà ở là: \(x + 9 - 15 = x - 6{\rm{ (m)}}\)

Chiều rộng phần nhà ở là: \(x - 11{\rm{ (m)}}\)

Vậy diện tích phần nhà ở là:

\({S_{{\rm{nhà}}}} = (x - 6)(x - 11) = {x^2} - 11x - 6x + 66 = {x^2} - 17x + 66{\rm{ (}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

b) Diện tích toàn bộ mảnh đất là: \(S = x(x + 9) = {x^2} + 9x{\rm{ (}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Vì diện tích mảnh đất gấp \(8\) lần diện tích làm nhà ở nên \({S_{HCN}} = 8 \cdot S\).

Ta có phương trình:

\({x^2} + 9x = 8({x^2} - 17x + 66)\)

\({x^2} + 9x = 8{x^2} - 136x + 528\)

\(7{x^2} - 145x + 528 = 0\)

\((x - 16)(7x - 33) = 0\)

TH1: \(x - 16 = 0\) ta được \(x = 16\) (Thỏa mãn)

TH2: \(7x - 33 = 0\) ta được \(x = \frac{{33}}{7}\) (Không thỏa mãn \(x > 11\))

Vậy chiều rộng mảnh đất là \(16{\rm{ m}}\), chiều dài mảnh đất là: \(16 + 9 = \)\(25{\rm{ m}}\)

Bài 5: (1,0 điểm)

Một bình inox có cấu tạo gồm hai phần: phần thân có dạng hình trụ có chiều cao 20 cm và bán kính đáy là 4 cm, phần nắp có dạng nửa hình cầu có đường kính bằng với đường kính đáy của phần thân.

a) Tính thể tích không gian bên trong của cái bình trên nếu bỏ qua độ dày của vỏ bình (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm³).

b) Nhà sản xuất muốn phủ một lớp sơn tĩnh điện lên mặt ngoài của vỏ bình (gồm phần thân, phần nắp và đáy bình), giả sử chi phí sơn là 210 000 đồng/m². Tính chi phí để sơn một cái bình inox (làm tròn kết quả đến nghìn đồng).

Biết công thức tính thể tích hình trụ là \(V = \pi {R^2}h\), diện tích xung quanh hình trụ là \(S = 2\pi Rh\) với R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ. Thể tích hình cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\), diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2}\) với \(R\) là bán kính. Lấy \(\pi  = 3,14\).

Lời giải:

a) Thể tích bình gồm phần nắp và phần bình:

Thể tích nắp \({V_n} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi .{r^3} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}{.3,14.4^3} = 133,97\left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích bình: \({V_t} = \pi .{r^2}.h = {3,14.4^2}.20 = 1004,8\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích không gian bên trong bình:

\(V = 1004,8 + 133,97 = 1138,77 \approx 1139\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích không gian bên trong bình khoảng 1139 \(c{m^3}\)

b) Diện tích phần nắp là: \({S_n} = \frac{1}{2}.4.\pi .{R^2} = \frac{1}{2}{.4.3,14.4^2} = 100,48\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích xung quanh thân bình: \({S_t} = 2\pi .R.h = 2.3,14.4.20 = 502,4\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích đáy: \(S = \pi .{R^2} = {3,14.4^2} = 50,24\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích cần sơn: \(S = 502,4 + 50,24 + 100,48 = 653,12\left( {c{m^2}} \right) = 0,065312\left( {{m^2}} \right)\)

Chi phí sơn: \(0,065312.210000 = 13715,52 \approx 14000\) (đồng)

Vậy chi phí sơn là 14 000 đồng.

Bài 6: (1,0 điểm)

Hai đội \(A\) và \(B\) dự kiến cùng làm chung và xong công việc trong một số ngày. Nếu đội \(A\) làm \(\frac{1}{3}\) công việc rồi đội \(B\) làm phần còn lại thì chậm hơn so với dự kiến \(6\) ngày. Nếu đội \(B\) làm \(\frac{1}{3}\) công việc rồi đội \(A\) làm phần còn lại thì chậm hơn so với dự kiến \(4\) ngày. Hỏi hai đội \(A\) và \(B\) dự kiến cùng làm chung và xong công việc này trong bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất của hai đội \(A\) và \(B\) là không đổi).

Lời giải:

Gọi thời gian đội \(A\) làm một mình để hoàn thành toàn bộ công việc là \(x\) (ngày) và thời gian đội \(B\) làm một mình để hoàn thành toàn bộ công việc là \(y\) (ngày). (Điều kiện: \(x,y > 0\))

Trong 1 ngày, đội \(A\) làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Trong 1 ngày, đội \(B\) làm được: \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Khi đó cả hai đội cùng làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{x + y}}{{xy}}\) (công việc).

Do đó, thời gian dự kiến để hai đội cùng làm chung và hoàn thành công việc là: \(\frac{{xy}}{{x + y}}{\rm{ (ngày)}}\)

Trường hợp 1: Đội \(A\) làm \(\frac{1}{3}\) công việc rồi đội \(B\) làm phần còn lại (\(\frac{2}{3}\) công việc).

Khi đó, thời gian đội \(A\) làm là: \(\frac{1}{3}x\) (ngày) và thời gian đội \(B\) làm là: \(\frac{2}{3}y\) (ngày).

Vì thời gian này chậm hơn dự kiến \(6\) ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y - \frac{{xy}}{{x + y}} = 6\quad (1)\)

Trường hợp 2: Đội \(B\) làm \(\frac{1}{3}\) công việc rồi đội \(A\) làm phần còn lại (\(\frac{2}{3}\) công việc).

Khi đó, thời gian đội \(B\) làm là: \(\frac{1}{3}y\) (ngày) và thời gian đội \(A\) làm là: \(\frac{2}{3}x\) (ngày).

Vì thời gian này chậm hơn dự kiến \(4\) ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y - \frac{{xy}}{{x + y}} = 4\quad (2)\)

Trừ từng vế của hai phương trình (1), (2) ta được:

\(\left( {\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y} \right) - \left( {\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}y} \right) = 6 - 4\)

\( - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y = 2\)

\(y - x = 6 \Rightarrow y = x + 6\)

Thay \(y = x + 6\) vào phương trình (1), ta có:

\(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}(x + 6) - \frac{{x(x + 6)}}{{x + (x + 6)}} = 6\)

\(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x + 4 - \frac{{{x^2} + 6x}}{{2x + 6}} = 6\)

\(x + 4 - \frac{{{x^2} + 6x}}{{2x + 6}} = 6\)

\(x - \frac{{{x^2} + 6x}}{{2x + 6}} = 2\)

\(x(2x + 6) - ({x^2} + 6x) = 2(2x + 6)\) (Do \(x > 0\) nên \(2x + 6 > 0\))

\(2{x^2} + 6x - {x^2} - 6x = 4x + 12\)

\({x^2} - 4x - 12 = 0\)

\({x^2} - 6x + 2x - 12 = 0\)

\(x(x - 6) + 2(x - 6) = 0\)

\((x - 6)(x + 2) = 0\)

TH1: \(x - 6 = 0\)

\(x = 6\) (Thỏa mãn)

TH2: \(x + 2 = 0\)

\(x =  - 2\) (Không thỏa mãn)

Với \(x = 6\), suy ra \(y = 6 + 6 = 12\) (Thỏa mãn).

Vậy thời gian dự kiến để hai đội cùng hoàn thành công việc khi làm chung là:

\(\frac{{6 \cdot 12}}{{6 + 12}} = \frac{{72}}{{18}} = 4{\rm{ (ngày)}}\)

Bài 7: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < AC) có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh \(\Delta ABD\) đồng dạng \(\Delta AKC\) và \(AF \cdot AK = AH \cdot AC\).

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; J là giao điểm của AK và BC.

i) Chứng minh \(HK\parallel IJ\).

ii) Biết \(\widehat {BAC} = {60^\circ },\widehat {ACB} = {45^\circ }\), tính diện tích tam giác IHJ theo \(R\).

Lời giải

a) Xét \(\Delta BEC\), ta có \(BE \bot AC\) (do BE là đường cao).

Vì tam giác BEC vuông tại E, nên 3 điểm B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC. (1)

Xét \(\Delta BFC\), ta có \(CF \bot AB\) (do CF là đường cao).

Vì tam giác BFC vuông tại F, nên 3 điểm B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, F, E, C cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn đường kính BC).

Vậy tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Xét đường tròn (O), có \(\angle ACK\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AK, suy ra \(\angle ACK = {90^\circ }\).

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại D (\(\angle ADB = {90^\circ }\)) và \(\Delta AKC\) vuông tại \(C\) (\(\angle ACK = {90^\circ }\)), ta có:

\(\angle ADB = \angle ACK = {90^\circ }\)

\(\angle ABD = \angle AKC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn \((O)\)).

Suy ra \(\Delta ABD\backsim\Delta AKC\) (g.g).

Khi đó \(\angle BAD = \angle KAC\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta AFH\) và \(\Delta AKC\), ta có:

\(\angle AFH = \angle ACK = {90^\circ }\)

\(\angle FAH = \angle CAK\) (chính là \(\angle BAD = \angle KAC\) đã chứng minh trên).

\( \Rightarrow \Delta AFH\backsim\Delta AKC\) (g.g).

Từ đó ta có tỉ số đồng dạng: \(\frac{{AF}}{{AK}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AF \cdot AK = AH \cdot AC\).

c)

i) Vì tứ giác BFEC nội tiếp suy ra \(\angle AFE = \angle ACB\) (do cùng cộng với \(\angle EFB\) bằng \({180^0}\))

Xét \(\Delta AIF\) và \(\Delta AJC\) có:

\(\angle AFI = \angle ACJ\) (do \(\angle AFE = \angle ACB\))

\(\angle FAI = \angle CAJ\) (do \(\angle BAD = \angle KAC\))

\( \Rightarrow \Delta AIF\backsim\Delta AJC\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{AI}}{{AJ}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (*).

Từ \(\Delta AFH\backsim\Delta AKC\) (chứng minh câu b), ta cũng có \(\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) (**).

Từ (*) và (**), suy ra \(\frac{{AI}}{{AJ}} = \frac{{AH}}{{AK}} \Rightarrow \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AJ}}{{AK}}\).

Xét \(\Delta AHK\), theo định lý Thales đảo, do có tỉ lệ \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AJ}}{{AK}}\), ta suy ra \(IJ\parallel HK\).

ii) Xét \(\Delta AFC\) vuông tại F, ta có: \(\cos (\angle FAC) = \cos ({60^\circ }) = \frac{{AF}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).

Mà \(\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) nên \(\frac{{AH}}{{AK}} = \frac{1}{2}\) hay \(AH = \frac{1}{2}.2R = R\)

Ta có \(\Delta ADC\) vuông tại D có \(\angle ACD = {45^0}\) nên \(\Delta ADC\) vuông cân tại D

Suy ra \(\angle CAD = {45^0}\)

Trong \(\Delta ABC\), \(\angle ABC = {180^\circ } - ({60^\circ } + {45^\circ }) = {75^\circ }\).

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\): \(\angle BAD = {90^\circ } - {75^\circ } = {15^\circ }\).

Mặt khác, trong \(\Delta ABK\) vuông tại \(B\) (\(\angle ABK = {90^\circ }\) do chắn nửa đường tròn), ta có \(\angle BAK = {90^\circ } - \angle AKB = {90^\circ } - \angle ACB = {90^\circ } - {45^\circ } = {45^\circ }\).

Suy ra góc \(\angle HAK = \angle BAK - \angle BAD = {45^\circ } - {15^\circ } = {30^\circ }\).

Ta có \(\Delta ABK\) vuông cân tại B nên \(2A{B^2} = A{K^2} = 4{R^2}\) suy ra \(AB = \sqrt 2 R\)

Ta có \(\angle BAD = {15^0}\) nên \(AD = AB.\cos BAD = \sqrt 2 R.\cos {15^0}\)

Tương tự \(DJ = AD.\tan DAJ = \sqrt 2 R.\cos {15^0}.\tan {30^0} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}R.\cos {15^0}\)

Ta có \(\sin DAJ = \frac{{DJ}}{{AJ}}\) nên \(AJ = \frac{{DJ}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 6 }}{3}R.\cos {{15}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}R.\cos {15^0}\)

Mà \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{{AJ}}{{AK}}\) nên \(AI = \frac{{AH.AJ}}{{AK}} = \frac{{R.\frac{{2\sqrt 6 }}{3}R.\cos {{15}^0}}}{{2R}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}R\cos {15^0}\)

Vậy \(IH = AH - AI = R - \frac{{\sqrt 6 }}{3}R\cos {15^0} = R\left( {1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\cos {{15}^0}} \right)\)

Suy ra \({S_{HIJ}} = \frac{1}{2}IH.DJ = \frac{1}{2}.R\left( {1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\cos {{15}^0}} \right).\frac{{\sqrt 6 }}{3}R.\cos {15^0} = \frac{{{R^2}}}{{12}}\)

-HẾT-