Đề thi vào 10 môn Toán Tiền Giang

Đề bài

Câu 1:

1. Tính giá trị của biểu thức .

2. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) ;

b) ;

c)

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol và đường thẳng .

1. Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

2. Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của và .

Câu 3: 

1. Gọi và là hai nghiệm của phương trình . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng . Hỏi khu vườn có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu mét, biết rằng chiều dài lơn hơn chiều rộng ?

Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy điểm khác và ), kẻ CH vuông góc với AB tại . Gọi là điểm nằm giữa và , tia AK cắt đường tròn tại điểm thứ hai là .

1. Chứng minh BHKD là một tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác ACK đồng dạng với tam giác ADC và chứng minh .

Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy bằng , chiều cao bằng . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đã cho.

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

1. Khai căn và tính giá trị biểu thức.

2. a) Tính và giải phương trình

b) Đặt

c) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

1.

Vậy .

2. Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a)

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b) .

Đặt , phương trình trở thành .

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với .

Vạy tập nghiệm của phương trình là .

c)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

a) Tìm 2 điểm để vẽ đường thẳng d và 5 điểm để vẽ parabol P.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm 2 nghiệm của phương trình đó.

Cách giải:

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Vẽ đường thẳng :

Với thì

Với thì

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua và

Vẽ parabol :

Ta có bảng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

Hệ số nên parabol có bể cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm và .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và ta có:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Với thì

Với thì

Vậy cắt tại 2 điểm có tọa độ là: và .

Câu 3 (VD):

Phương pháp:

1. Áp dụng hệ thức vi-et

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Cách giải:

1. Do là hai nghiệm của phương trình nên áp dụng hệ thức Vi-et ta có

Ta có

Vây .

2. Ta có

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Vậy thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

- Gọi chiều dài hình chữ nhật là x, khi đó chiều rộng là x – 5.

- Ta tìm được phương trình là: Chiều dài nhân với chiều rộng bằng 150.

Cách giải:

Gọi chiều dài hình chữ nhật là , mét)

Do chiều dài lớn hơn chiều rộng nên chiều rộng hình chữ nhật là

Diện tích hình chữ nhật là

Do diện tích khu vườn bằng nên ta có phương trình

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy chiều dài hình chữ nhật là , chiều rộng hình chữ nhật là .

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

1. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh  từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cách giải:

1. Do

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác HKDB nội tiếp (dhnb) (đpcm)

2. Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà (do  vuông tại )

(cùng phụ

Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung )

Xét và có:

chung

(g.g)

(đpcm)

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng công thức:

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Thể tích của hình trụ là:

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là , thể tích hình trụ là: .

-----HẾT-----

Đề bài

Bài I (1,5 điểm):

1) Rút gọn biểu thức: .

2) Cho biểu thức: với và

a) Rút gọn biểu thức ;

b) Tìm tất cả các giá trị của để .

Bài II (2,5 điểm):

1) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a)

b)

c)  (1)

2) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là 2 và đi qua điểm

Bài III (1,5 điểm):

Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol .

a) Vẽ đồ thị parabol .

b) Bằng phép tính, tìm tất cả những điểm thuộc parabol (khác gốc tọa độ ) có tung độ gấp hai lần hoành độ.

Bài IV (1,5 điểm):

Quãng đường dài km. Một xe tải khởi hành đi từ đến , cùng lúc đó một ô tô cũng đi trên quãng đường từ đến với vận tốc lớn hơn vận tốc xe tải là km/h, nên ô tô đến sớm hơn xe tải là phút. Tính vận tốc xe tải.

Bài V (3,0 điểm):

1) Cho tam giác vuông tại A có và . Tính độ dài cạnh CB và giá trị của .

Vậy và .

2) Cho nửa đường tròn đường kính . Lấy điểm thuộc nửa đường tròn sao cho . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , đường thẳng vuông góc với tại cắt dây và tia lần lượt tại và .

a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi là trung điểm . Chứng minh rằng là tiếp tuyến của nửa đường tròn .

c) Chứng minh rằng .

Câu 2

Bài I:

Phương pháp:

1) Vận dụng hằng đẳng thức

2) a) Vận dụng hằng đẳng thức xác định mẫu thức chung, cụ thể:

Quy đồng các phân thức, thực hiện các phép toán để rút gọn biểu thức .

b) Yêu cầu đề bài

Xác định mẫu thức chung, quy đồng các phân thức, rút gọn biểu thức .

Chia hai trường hợp để giải bất phương trình , cụ thể:

+ Trường hợp 1: Tử số ; Mẫu số

+ Trường hợp 2: Tử số ; Mẫu số .

Trong các trường hợp đặc biệt, nếu xác định được dấu của tử số thì ta chỉ cần giải bất phương trình của mẫu số và ngược lại.

Giải các bất phương trình, đối chiếu điều kiện và đưa ra kết luận.

Cách giải:

1) Ta có:

(do )

.

2) với và

a) ĐKXĐ: , . Ta có:

Vậy với , thì .

b) Ta có:

(do )

.

Kết hợp với ĐKXĐ ta có thì .

Bài II:

Phương pháp:

1) a) Phương trình bậc hai một ẩn nhẩm nghiệm nhanh bằng công thức thì phương trình có hai nghiệm phân biệt (với )

b) Vận dụng phương pháp cộng đại số xác định nghiệm của hệ phương trình ban đầu.

c) Nhận thấy, phương trình cần giải là phương trình trùng phương nên ta đặt (*) khi đó phương trình ban đầu quy về phương trình bậc hai ẩn là

Giải phương trình bậc hai ẩn đối chiếu điều kiện để xác định

Thay để giải tìm nghiệm của phương trình ban đầu và kết luận tập nghiệm của phương trình.

2) Giả sử phương trình đường thẳng là

Vì có hệ số góc là 2  nên ta xác định được hệ số

Vì đi qua điểm nên ta xác định được hệ số

Từ đó kết luận được phương trình đường thẳng

Cách giải:

a)

Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .

Vậy phương tình đã cho có tập nghiệm .

b)

Ta có:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

c)  (1)

Đặt (*) phương trình (1) trở thành:    (2).

Ta có nên phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt:

Với .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm .

2) Giả sử phương trình đường thẳng là

Vì có hệ số góc là 2 nên ta có .

Vì đi qua điểm nên ta có: (*).

Thay vào (*) ta có .

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là .

Bài III:

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị xác định các điểm mà Parabol đi qua từ đó vẽ được đồ thị hàm số .

b) Gọi điểm có tung độ gấp hai lần hoành độ là .

Vì nên thay tọa độ điểm và phường trình parabol để xác định tham số , đốii chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

a) Parabol có bề lõm hướng lên và nhận làm trục đối xứng.

Ta có bảng giá trị sau:

Parabol đi qua các điểm , , , , .

Đồ thị Parabol :

b) Gọi điểm có tung độ gấp hai lần hoành độ là .

Vì nên ta có: (do ).

Vậy điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là .

Bài IV:

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, cụ thể:

Gọi vận tốc xe tải là , tính được thời gian xe tải đi hết quãng đường.

Gọi vận tốc của ô tô là , tính được thời gian ô tô đi hết quãng đường

Từ giả thiết thời gian xe ô tô đến sớm hơn so với xe tải là phút nên lập được phương trình, giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Chú ý: các đại lượng giải toán phải cùng đơn vị đo lường.

Cách giải:

Gọi vận tốc xe tải là

Thời gian xe tải đi hết quãng đường là

Vận tốc của ô tô là

 Thời gian ô tô đi hết quãng đường là

Do thời gian xe ô tô đến sớm hơn so với xe tải là phút nên ta có phương trình:

Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy vận tốc xe tải là .

Bài V:

Phương pháp:

1) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông vuông tại , tính được độ dài cạnh

Vận dụng tỉ số lượng của góc nhọn trong tam giác vuông, tính được .

2) a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp, chứng minh tứ giác nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng )

Suy ra cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh và mà

nên ta có điều phải chứng minh.

c) Chứng minh suy ra

Cách giải:

1) Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông vuông tại ta có:

.

Vậy và .

2)

a) Ta có tại nên

Mà C thuộc nửa đường tròn nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nội tiếp đường tròn đường kính (dhnb).

Vậy cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

b) Ta có (Bù góc ) nên là tam giác vuông tại .

là cạnh huyền của tam giác vuông và là trung điểm của nên (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền).

cân tại (đối đỉnh)      (1)

Mặt khác, cân tại   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Mà (do tam giác vuông tại ) hay .

Vậy là tiếp tuyến của nửa đường tròn .

c) Xét tam giác và ta có:

chung;

;

(hai cạnh tương ứng)

(do )

Mặt khác, ta có là trung điểm của nên  .

Vậy   (đpcm).

Đề bài

Bài I (3,0 điểm):

1. Giải hệ phương trình và phương trình sau:

a)                                                                    b)

2. Cho phương trình: (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của để phương trình có nghiệm.

b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

3. Rút gọn biểu thức :

Bài II. (2,0 điểm)

Cho parabol , các đường thẳng và

1. Vẽ đồ thị của và trên cùng hệ trục tọa độ.

2. Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm của và

3. Tìm giá trị của tham số , biết đường thẳng tiếp xúc với parabol .

Bài III (1,5 điểm):

Hai người đi xe đạp từ huyện A đến huyện B trên quãng đường dài 24km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của người thứ nhất hơn vận tốc xe của người thứ hai 3km/h nên người thứ nhất đến huyện B trước người thứ hai là 24 phút. Tính vận tốc xe của mỗi người.

Bài IV. (2,5 điểm)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn tâm O (B, C là hai tiếp điểm) và cát tuyến AEF sao cho E nằm giữa A, F (BE < EC) .

1. Chứng minh

2. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh các tứ giác ABOC, ABIO nội tiếp đường tròn.

3. Các đường thẳng AO, AF cắt BC lần lượt tại H và D. Chứng minh

Bài V. (1,0 điểm)

Cho hình nón có đường sinh bằng 17cm và diện tích xung quanh bằng . Tính bán kính đáy và thể tích của hình nón. 

Lời giải

Bài I

Phương pháp:

1) a) giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

b)

2) a) Phương trình có nghiệm khi

b) Áp dụng hệ thức Viet

3. Sử dụng phương pháp nhân liên hợp với biểu thức dưới mẫu để mất căn ở mẫu và công thức

Hướng dẫn giải:
1) a)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

b)

Giải (1) ta có:

Giải (2) ta có:

Đặt phương trình  (2) trở thành  có các hệ số:

Khi đó phương trình  (3) vô nghiệm nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

2. Cho phương trình: (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của để phương trình có nghiệm.

có các hệ số

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Từ điều kiện ta thấy nên (luôn đúng).

Do đó với   thì phương trình có hai nghiệm .

Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình ta có:

Theo đề ra ta có:

Vậy   thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Rút gọn biểu thức :

Vậy

Bài II

Phương pháp:

1. Lập bảng giá trị sau đó vẽ các đồ trị trên cùng một hệ trục tọa độ.

2. Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:

3. Đường thẳng tiếp xúc với parabol khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của và có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Cho parabol , các đường thẳng và

1. Vẽ đồ thị của và trên cùng hệ trục tọa độ.

+)

Khi đó đồ thị của là 1 parabol đi qua 5 điểm có tọa độ là:

 +)

Khi đó đồ thị của là một đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa độ là:

2. Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm của và

Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tọa độ giao điểm của và là: .

3. Tìm giá trị của tham số , biết đường thẳng tiếp xúc với parabol .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là: (*)

Ta có các hệ số:

Số giao điểm của đường thẳng và  parabol đồng thời là số nghiệm của phương trình (*).

Đường thẳng tiếp xúc với parabol khi và chỉ khi

Vậy   thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài III

Phương pháp:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo  các đại lượng đã biết và theo ẩn vừa gọi.

Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.

Bước 4: Đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Hướng dẫn giải:

Đổi:

Gọi vận tốc xe của người thứ nhất  đi là:

Vận tốc xe của người thứ hai đi là:

Thời gian đi từ huyện A đến huyện B của người thứ nhất là:

Thời gian đi từ huyện A đến huyện B của người thứ hai là:

Người thứ nhất đến huyện B trước người thứ hai là 24 phút nên ta có phương trình:

Vậy vận tốc đi xe của người thứ nhất là: 15 (km/h)

Vận tốc đi xe của người thứ hai là: 15 – 3 = 12 (km/h).

Bài IV

Hướng dẫn giải:

1. Chứng minh

Xét  (O) Ta có: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BE)

Xét và có:

chung

(cmt)

(g-g)

2. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh các tứ giác ABOC, ABIO nội tiếp đường tròn.

+) Chứng minh  tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.

Ta có AB, AC lần lượt là 2 tiếp tuyến của (O) nên:

(tính chất tiếp tuyến)

Xét tứ giác ABOC có:

Suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

+) Chứng minh  tứ giác ABIO nội tiếp đường tròn.

Ta có: I là trung điểm của EF (gt)

  tại I (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Khi đó ta có:   hay

Nên . Mà I, B là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh OA dưới các góc bằng nhau.

Suy ra tứ giác ABIO là tứ giác nội tiếp đường tròn. (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

3. Các đường thẳng AO, AF cắt BC lần lượt tại H và D. Chứng minh

Ta có:

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại A)

(cùng là bán kính (O))

là đường trung trực của

Xét và có:

chung

(cmt)

(g-g)

Mặt khác theo câu a ta có: 

Vậy ta có:

Bài V

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: ;

Thể tích hình nón: Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao và l là đường sinh của hình nón.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ta có: chiều cao của hình nón là:

Thể tích hình nón:

Đề bài

Câu 1 (3 điểm):

1) Tính giá trị của biểu thức:

2) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

3) Cho phương trình có hai nghiệm Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

Câu 2 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol và đường thẳng

1) Vẽ và trên cùng một hệ trục tọa độ khi

2) Định các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt và

3) Tìm giác trị của để độ dài đoạn thẳng

Câu 3 (1,5 điểm): Hai bến sông A và B cách nhau 60km. Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng về A. Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút. Tính vận tốc ngược dòng của ca nô, biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng của ca nô là 6 km/h.

Câu 4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), các đường cao AF, BD và CE cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh AE.AB = AD.AC.

3) Chứng minh FH  là phân giác của

4) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh  

Câu 5 (1 điểm): Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng và bán kính đáy bằng đường cao. Tính bán kính đáy và thể tích hình trụ. 

Lời giải

Câu 1:

Phương pháp:

1) Sử dụng công thức:

2) a) Đặt đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t. Giải phương trình ẩn t sau đó tìm ẩn x.

b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

3) Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính giá trị các biểu thức đề bài yêu cầu.

Cách giải:

2) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

Đặt Khi đó ta có phương trình:

Vậy phương trình có tập nghiệm                                        

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất   

3) Cho phương trình có hai nghiệm Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Khi đó:

Áp dụng hệ thức Vi-ét và kết quả của biểu thức B ta được:

Câu 2:

Phương pháp:

1) Lập bảng giá trị mà các đồ thị hàm số đi qua sau đó vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ.

2) Để cắt tại hai điểm phân biệt và thì phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị có hai nghiệm phân biệt

3) +) Áp dụng hệ thức Vi-ét  

+) Sử dụng công thức tính đoạn thẳng:

Cách giải:

Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol và đường thẳng

1) Vẽ và trên cùng một hệ trục tọa độ khi

+) Với ta có:

Ta có bảng giá trị:

Đường thẳng đi qua hai điểm và

+) Vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị là đường cong đi qua các điểm

2) Định các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt và

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

Để cắt tại hai điểm phân biệt và thì phương trình  có nghiệm hai  phân biệt

Vậy

3) Tìm giác trị của để độ dài đoạn thẳng

Với thì cắt tại hai điểm phân biệt

Khi đó là hai nghiệm của phương trình Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

Ta có:

Theo đề bài ta có:

Vậy

Câu 3:

Phương pháp:

Giải bài toàn bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chữa biết theo ẩn và đại lượng đã biết.

+) Dựa vào giả thiết của bài toán để lập phương trình.

+) Giải phương trình tìm ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Cách giải:

Hai bến sông A và B cách nhau 60km. Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng về A. Thời gian đi xuôi dòng ít hơn thời gian đi ngược dòng là 20 phút. Tính vận tốc ngược dòng của ca nô, biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc ngược dòng của ca nô là 6 km/h.

Gọi vận tốc ngược dòng của ca nô là

Khi đó vận tốc ca nô khi xuôi dòng là:

Thời gian ca nô đi hết khúc sông khi xuôi dòng là:

Thời gian ca nô đi hết khúc sông khi ngược dòng là:

Theo đề bài ta có phương trình:

Vậy vận tốc của ca nô khi ngược dòng là

Câu 4:

Phương pháp:

1) Chứng minh tứ giác BEDC có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện.

2) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác ADE.

3) Chứng minh các tứ giác BEHF và CDHF là các tứ giác nội tiếp.

4) Chứng minh .

Cách giải:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), các đường cao AF, BD và CE cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác ta có:

Mà hai góc này là hai góc kề 1 cạnh và cùng nhìn đoạn

là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

2) Chứng minh AE.AB = AD.AC.

Vì là tứ giác nội tiếp (cmt) nên (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Xét và ta có:

3) Chứng minh FH  là phân giác của

Ta có: là tứ giác nội tiếp

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )                  (1)

Có là tứ giác nội tiếp

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )                  (2)

Mà là tứ giác nội tiếp (cmt)

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )                  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

Hay là phân giác của (đpcm)

4) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh  

Xét tam giác vuông tại có đường trung tuyến (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

cân tại (tính chất tam giác cân)

Vì là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Vì là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

Câu 5:

Phương pháp:

Sử dụng các công thức và trong đó R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Cách giải :

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng và bán kính đáy bằng đường cao. Tính bán kính đáy và thể tích hình trụ.

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vì bán kính đáy bằng đường cao nên

Khi đó ta có 

Vậy thể tích của khối trụ là .