Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

- Nếu a nằm trong (P) thì kết quả là hiển nhiên.

- Ta xét trường hợp a không nằm trong (P) (như hình vẽ).

Lấy điểm $M\in a$. Gọi H là hình chiếu của M trên (P) thì a' đi qua H. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và MH. Do $MH\perp \left(P\right)$ mà $d\subset \left(P\right)$ nên $MH\perp d$.

Giả sử $d\perp a^{\prime }$. Khi đó, d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (Q) là a' và MH. Suy ra $d\perp \left(Q\right)$, mà $a\subset \left(Q\right)$ nên $d\perp a$.

Giả sử $d\perp a$. Khi đó, bằng cách chứng minh tương tự như trên, ta có: $d\perp a^{\prime }$.

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, ta lấy điểm S (S khác A).

a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông tại C.

b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng $AH\perp \left(SBC\right)$.

Giải:

a) Vì $SA\perp \left(ABC\right)$ nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$. Mà $BC\perp AC$ nên theo định lí ba đường vuông góc ta có $BC\perp SC$. Vậy tam giác SBC vuông tại $C$.

b) Ta có BC vuông góc với hai đường thẳng SA và AC cắt nhau trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$ nên $BC\perp \left(SAC\right)$, mà AH nằm trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$ nên BC vuông góc với AH. Vì AH vuông góc với hai đường thẳng SC và BC cắt nhau trong mặt phẳng $\left(SBC\right)$ nên AH vuông góc với mặt phẳng $\left(SBC\right)$.