Định lí cosin. Hệ quả định lí cosin - Toán 10

Từ điển môn Toán lớp 10 - Tổng hợp các khái niệm Toán 10

Hệ thức lượng trong tam giác - Từ điển môn Toán 10

Định lí cosin. Hệ quả định lí cosin - Toán 10

Định lí cosin. Hệ quả định lí cosin

Nội dung chính

1. Định lí cosin là gì?

2. Hệ quả của định lí cosin

3. Ví dụ minh hoạ ứng dụng định lí cosin

4. Bài tập vận dụng

1. Định lí cosin là gì?

Trong tam giác ABC:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ;

$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B$ ;

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos C$ .

* Định lí Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin khi tính cạnh huyền trong tam giác vuông.

2. Hệ quả của định lí cosin

Trong tam giác ABC:

$cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ ;

$cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a}$ ;

$cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ .

3. Ví dụ minh hoạ ứng dụng định lí cosin

1) Cho tam giác ABC có $ˆ A = 120^{o}$ và AB = 5, AC = 8. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . cos 120^{o}$

$= 5^{2} + 8^{2} - 2.5.8. (- \frac{1}{2}) = 129$ . Vậy $B C = \sqrt{129}$ .

2) Cho tam giác ABC có $C = 115^{o}$ , AC = 8 và BC = 12. Tính độ dài cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.

Giải:

Theo định lí cosin, ta có:

$A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2. B C . A C . cos C$

$= 12^{2} + 8^{2} - 2.12.8. cos 115^{o} \approx 289, 14$ .

Vậy $A B \approx \sqrt{289, 14} \approx 17$ .

Theo hệ quả của định lí cosin, ta có $cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} \approx \frac{17^{2} + 8^{2} - 12^{2}}{2.17.8} \approx 0, 7684$ .

Suy ra $ˆ A \approx 39^{o} 47^{'}$ , $ˆ B = 180^{o} - (ˆ A + ˆ C) \approx 25^{o} 13^{'}$ .

3) Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay A và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc 60°. Máy bay thứ nhất bay với vận tốc 650 km/h, máy bay thứ hai bay với vận tốc 900 km/h. Sau 2 giờ, hai máy bay cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng cả hai máy bay bay theo đường thẳng và sau 2 giờ bay đều chưa hạ cánh.

Giải:

Theo định lí cosin, ta có:

$A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2. B C . A C . cos C$

$= 12^{2} + 8^{2} - 2.12.8. cos 115^{o} \approx 289, 14$ .

Vậy $A B \approx \sqrt{289, 14} \approx 17$ .

Theo hệ quả của định lí cosin, ta có $cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} \approx \frac{17^{2} + 8^{2} - 12^{2}}{2.17.8} \approx 0, 7684$ .