Định lí Thalès trong không gian - Toán 11

Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11

Hai mặt phẳng song song - Từ điển môn Toán 11

Định lí Thalès trong không gian - Toán 11

Định lí Thalès trong không gian

Nội dung chính

1. Định lí Thalès trong không gian

2. Ví dụ minh hoạ về định lí Thalès trong không gian

1. Định lí Thalès trong không gian

Nếu a, b là hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì

$\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}} = \frac{C A}{C^{'} A^{'}}$

2. Ví dụ minh hoạ về định lí Thalès trong không gian

1) Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song. Hai đường thẳng d và d' cắt ba mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C và A', B', C'. Cho AB = 3, BC = 7, A'C' = 20. Tính các độ dài A'B', B'C'.

Giải:

Áp dụng định lí Thales trong không gian đối với ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) và hai cát tuyến d, d', ta có:

$\frac{A^{'} B^{'}}{B^{'} C^{'}} = \frac{A B}{B C} = \frac{3}{7}$ , suy ra $\frac{A^{'} B^{'}}{3} = \frac{B^{'} C^{'}}{7} = \frac{A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'}}{3 + 7} = \frac{A^{'} C^{'}}{10} = \frac{20}{10} = 2$ .

Suy ra $A^{'} B^{'} = 6; B^{'} C^{'} = 14$ .

2) Một kệ để đồ bằng gỗ có mâm tầng dưới (ABCD) và mâm tầng trên (EFGH) song song với nhau. Bác thợ mộc đo được AE = 80 cm, CG = 90 cm và muốn đóng thêm một mâm tầng giữa (IJKL) song song với hai mâm tầng trên và dưới sao cho khoảng cách EI = 36 cm. Hãy giúp bác thợ mộc tính độ dài GK để đặt mâm tầng giữa cho kệ để đồ đúng vị trí.

Giải:

Ta có đường thẳng EA cắt ba mặt phẳng song song (EFGH), (IJKL), (ABCD) lần lượt tại E, I, A; đường thẳng GC cũng cắt ba mặt phẳng trên lần lượt tại G, K, C.

Áp dụng định lí Thales trong không gian, ta có: $\frac{E I}{E A} = \frac{G K}{G C} \Rightarrow \frac{36}{80} = \frac{G K}{90}$ .

Suy ra $G K = \frac{90.36}{80} = 40, 5$ (cm).

Vậy độ dài GK = 40,5 cm.

3) Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm $A_{1}, A_{2}$ sao cho $A_{2} A_{1} = 2 A_{1} A$ . Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua $A_{1}, A_{2}$ . Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại $B_{1}, C_{1}$ . Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại $B_{2}, C_{2}$ . Chứng minh $B_{2} B_{1} = 2 B_{1} B$ và $C_{2} C_{1} = 2 C_{1} C$ .

Giải:

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (ABC) và hai cát tuyến SA, SB, ta có:

$\frac{A_{2} A_{1}}{A_{1} A} = \frac{B_{2} B_{1}}{B_{1} B}$ .

Vì $A_{2} A_{1} = 2 A_{1} A$ nên $B_{2} B_{1} = 2 B_{1} B$ .

Tương tự với hai cát tuyến SA, SC suy ra $C_{2} C_{1} = 2 C_{1} C$ .