Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$ (với $a\ne 0$) là một parabol $\left(P\right)$:

- Có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}$, tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}$;

- Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$ (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy nếu $b\ne 0$, trùng với trục Oy nếu $b=0$);

- Có bề lõm quay lên trên nếu $a>0$, quay xuống dưới nếu $a<0$;

- Nếu $a>0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-\frac{b}{2a})$ và đồng biến trên khoảng $(-\frac{b}{2a};+\infty )$. Nếu $a<0$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-\frac{b}{2a})$ và nghịch biến trên khoảng $(-\frac{b}{2a};+\infty )$;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $c$, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ $(0;c)$.

Để vẽ đồ thị hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$), ta thực hiện các bước:

- Xác định toạ độ đỉnh: $\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$;

- Vẽ trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$;

- Xác định một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: giao điểm với trục tung (có toạ độ $(0;c)$) và trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm có toạ độ $(0;c)$ qua trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số $y=a{x}^2+bx+c$.

Vẽ đồ thị các hàm số:

a) $y=f\left(x\right)=-x^2+4x-3$;

b) $y=f\left(x\right)=x^2+2x+2$.

Giải:

a) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đồ thị hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)=-x^2+4x-3$ là một parabol $\left(P\right)$:

- Có đỉnh $S$ với hoành độ $x_S=2$, tung độ $y_S=1$;

- Có trục đối xứng là đường thẳng $x=2$ (đường thẳng này đi qua đỉnh $S$ và song song với trục $Oy$);

- Có bề lõm quay xuống dưới vì $a<0$;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ $(0;-3)$.

Ngoài ra, phương trình $-x^2+4x-3=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1=1$ và $x_2=3$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ (1; 0) và (3; 0).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới:

b) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đồ thị hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)=x^2+2x+2$ là một parabol $\left(P\right)$:

- Có đỉnh $S$ với hoành độ $x_S=-1$, tung độ $y_S=1$;

- Có trục đối xứng là đường thẳng $x=-1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh $S$ và song song với trục $Oy$);

- Bề lõm quay lên trên vì $a>0$;

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ (0; 2).

Ta vẽ được đồ thị như hình dưới: