Cho hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) cố định có khoảng cách \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực a > c. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của elip đó.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0.

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > b > 0.

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Chú ý:

- Elip (E) cắt Ox tại hai điểm \({A_1}( - a;0)\), \({A_2}(a;0)\) và cắt Oy tại hai điểm \({B_1}(0; - b)\), \({B_2}(0;b)\).

- Các điểm \({A_1}\), \({A_2}\), \({B_1}\), \({B_2}\) gọi là các đỉnh của elip.

- Đoạn thẳng \({A_1}{A_2}\) gọi là trục lớn, đoạn thẳng \({B_1}{B_2}\) gọi là trục nhỏ của elip.

- Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

- Nếu \(M(x;y) \in (E)\) thì \(\left| x \right| \le a\), \(\left| y \right| \le b\).

Ví dụ minh hoạ:

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường elip?

a) $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$;

b) $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{3^2} = -1$;

c) $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$;

d) $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$.

Giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a > b > 0$ nên chỉ có trường hợp d) là phương trình chính tắc của đường elip.