Cho hai điểm $F_1$, $F_2$ cố định có khoảng cách $F_1{F}_2=2c>0$. Cho số thực dương a < c. Tập hợp các điểm M sao cho $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=2a$ được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm $F_1$, $F_2$ được gọi là hai tiêu điểm và $F_1{F}_2=2c$ được gọi là tiêu cự của hypebol đó.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, với a > 0, b> 0.

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm $F_1(-\sqrt{a^2+b^2};0)$, $F_2(\sqrt{a^2+b^2};0)$, tiêu cự $2c=2\sqrt{a^2+b^2}$ và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Chú ý:

- Hypebol (H) cắt Ox tại hai điểm $A_1(-a;0)$, $A_2(a;0)$. Nếu vẽ hai điểm $B_1(0;-b)$, $B_2(0;b)$ vào hình chữ nhật $O{A}_{2}P{B}_2$ thì $OP=\sqrt{a^2+b^2}=c$.

- Các điểm $A_1$, $A_2$ gọi là các đỉnh của hypebol.

- Đoạn thẳng $A_1{A}_2$ gọi là trục thực, đoạn thẳng $B_1{B}_2$ gọi là trục ảo của hypebol.

- Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.

- Nếu $M(x;y)\in \left(H\right)$ thì $x\le -a$, $x\ge a$.

Ví dụ minh hoạ:

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?

a) $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{4^2}=-1$;

b) $\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{5^2}=1$;

c) $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{5^2}=1$;

d) $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$.

Giải:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, với $a>0$, $b>0$ nên các trường hợp b), c), d) là phương trình chính tắc của đường hypebol.