Cho hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) cố định có khoảng cách \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực dương a < c. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol đó.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó thì có phương trình chính tắc

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với a > 0, b> 0.

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0)\), \({F_2}(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Chú ý:

- Hypebol (H) cắt Ox tại hai điểm \({A_1}( - a;0)\), \({A_2}(a;0)\). Nếu vẽ hai điểm \({B_1}(0; - b)\), \({B_2}(0;b)\) vào hình chữ nhật \(O{A_2}P{B_2}\) thì \(OP = \sqrt {{a^2} + {b^2}}= c\).

- Các điểm \({A_1}\), \({A_2}\) gọi là các đỉnh của hypebol.

- Đoạn thẳng \({A_1}{A_2}\) gọi là trục thực, đoạn thẳng \({B_1}{B_2}\) gọi là trục ảo của hypebol.

- Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của hypebol.

- Nếu \(M(x;y) \in (H)\) thì \(x \le- a\), \(x \ge a\).

Ví dụ minh hoạ:

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?

a) $\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{4^2} = -1$;

b) $\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{5^2} = 1$;

c) $\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{5^2} = 1$;

d) $\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{4^2} = 1$.

Giải:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a > 0$, $b > 0$ nên các trường hợp b), c), d) là phương trình chính tắc của đường hypebol.