Giải bài 1.10 trang 10

Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc ({105^0}).

Đề bài

Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc $105^{0}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức cộng, tách góc 105 $^{0}$ ra thành 2 góc có giá trị lượng giác đặc biệt là 60 $^{0}$ và 45 $^{0}$ .

$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ .

$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ .

Áp dụng công thức $\tan x = \frac{s i n x}{\cos x}$ để tính $\tan x$ .

Áp dụng công thức $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ để tính $\cot x$ .

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} \cos 105^{0} = \cos (60^{0} + 45^{0}) = \cos 60^{0} \cos 45^{0} - \sin 60^{0} \sin 45^{0} \\ = \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} . \\ \sin 105^{0} = \sin (60^{0} + 45^{0}) = \sin 60^{0} \cos 45^{0} - \cos 60^{0} \sin 45^{0} \\ = \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} . \end{array}$

$\tan 105^{0} = \frac{\sin 105^{0}}{\cos 105^{0}} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\cot 105^{0} = \frac{1}{\tan 105^{0}} = 1 : \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ .