Giải bài 1.12 trang 11

Chứng minh đẳng thức sau

Đề bài

Chứng minh đẳng thức sau

$\sin^{4} a + \cos^{4} a = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 a$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tách vế trái thành hằng đẳng thức, áp dụng công thức góc nhân đôi và công thức hạ bậc để biến đổi thành vế còn lại.

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$

$\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}$ .

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} \sin^{4} a + \cos^{4} a = \sin^{4} a + 2 \sin^{2} a \cos^{2} a + \cos^{4} a - 2 \sin^{2} a \cos^{2} a \\ = (\sin^{4} a + 2 \sin^{2} a \cos^{2} a + \cos^{4} a) - \frac{1}{2} .4 \sin^{2} a \cos^{2} a \\ = {(\sin^{2} a + \cos^{2} a)}^{2} - \frac{1}{2} (2 sinacosa)^{2} \\ = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 a \\ = 1 - \frac{1}{2} (\frac{1 - \cos 4 a}{2}) = 1 - \frac{1 - \cos 4 a}{4} \\ = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 a . \end{array}$