Giải bài 1.13 trang 11

Đề bài

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A = \sin \frac{π}{9} - \sin \frac{5 π}{9} + \sin \frac{7 π}{9}$ ;

b) $B = \sin 6^{0} \sin 42^{0} \sin 66^{0} \sin 78^{0}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức góc lượng giác liên quan:

$\sin a + \sin b = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) \cos (\frac{a - b}{2})$

$\sin (π - a) = \sin a$ .

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} A = \sin \frac{π}{9} - \sin \frac{5 π}{9} + \sin \frac{7 π}{9} \\ A = (\sin \frac{7 π}{9} + \sin \frac{π}{9}) - \sin \frac{5 π}{9} \\ = 2 \sin (\frac{\frac{7 π}{9} + \frac{π}{9}}{2}) \cos (\frac{\frac{7 π}{9} - \frac{π}{9}}{2}) - \sin \frac{5 π}{9} \\ = 2 \sin (\frac{4 π}{9}) \cos \frac{π}{3} - \sin \frac{5 π}{9} = 2 \sin (\frac{4 π}{9}) . \frac{1}{2} - \sin \frac{5 π}{9} \\ = \sin (\frac{4 π}{9}) - \sin \frac{5 π}{9} = \sin (π - \frac{4 π}{9}) - \sin \frac{5 π}{9} \\ = \sin \frac{5 π}{9} - \sin \frac{5 π}{9} = 0. \end{array}$

b) Vì $\sin 78^{0} = \cos 12^{0}; \sin 66^{0} = \cos 24^{0}; \sin 42^{0} = \cos 48^{0}$ nên

$B = \sin 6^{0} . \cos 12^{0} . \cos 24^{0} . \cos 48^{0}$ .

Nhân hai vế với cos6⁰ và áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

cos6⁰.B = cos6⁰. $\sin 6^{0} . \cos 12^{0} . \cos 24^{0} . \cos 48^{0}$ = $\frac{1}{16} . \sin 96^{0}$

$= \frac{1}{16} \sin (90^{0} + 6^{0}) = \frac{1}{16} \cos 6^{0}$ .

Vậy B = $\frac{1}{16}$ .