Giải bài 1.13 trang 14

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = - {x^3} + 3{x^2} + 2); b) (y = frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2}}).

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$ ;

b) $y = \frac{x}{x^{2} + 2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc đạo hàm không tồn tại.

- Lập bảng biến thiên của hàm số.

- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $R$ .

Ta có $y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x$ . Khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên thấy hàm số không có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

b) Tập xác định: $R$ .

Ta có $y^{'} = \frac{1 \cdot (x^{2} + 2) - x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = \frac{- x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

Khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{- x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow - x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - \sqrt{2}$ hoặc $x = \sqrt{2}$ .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: $min_{R} y = y (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{4}$ ; $max_{R} y = y (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .