Giải bài 1.14 trang 14

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=x\sqrt{4-x^2},-2\le x\le 2$;                               

b) $f\left(x\right)=x-\cos x,-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$.

Khi đó $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}=0\iff 4-2x^2=0\iff x=-\sqrt{2}$ hoặc $x=\sqrt{2}$ .

Ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[-2;2\right]$.

Ta có: $f\left(-2\right)=\left(-2\right)\cdot \sqrt{4-{\left(-2\right)}^2}=0;f\left(2\right)=2\cdot \sqrt{4-2^2}=0$;

$f\left(-\sqrt{2}\right)=\left(-\sqrt{2}\right)\cdot \sqrt{4-{\left(-\sqrt{2}\right)}^2}=-2;f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{4-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=2$.

Do đó, $\underset{\left[-2;2\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(-\sqrt{2}\right)=-2$; $\underset{\left[-2;2\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(\sqrt{2}\right)=2$.

b) Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=1+\sin x$. Ta thấy $0<\sin x<1\forall x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ suy ra $\sin x+1\ne 0$$\forall x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

Do đó, trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ vô nghiệm.

Ta có: $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}-\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2};f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}-\cos \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$.

Vậy $\underset{\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}$; $\underset{\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$.