Giải bài 1.15 trang 11

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

Đề bài

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

$\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức biến tổng thành tích và công thức góc liên quan.

$\sin a + \sin b = 2 \sin (\frac{a + b}{2}) \cos (\frac{a - b}{2})$

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$

Áp dụng tổng 3 góc trong tam giác là 180 độ, biến đổi linh hoạt vế trái thành vế phải.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l} \sin A + \sin B + \sin C \\ = \sin (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2}) + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} \end{array}$

Trong tam giác ABC: $A + B + C = 180^{0} (= π)$

$A + B + C = π \Rightarrow \frac{A + B + C}{2} = \frac{π}{2} \Rightarrow \frac{A + B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{π}{2} \Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{C}{2}$

Vậy, 2 góc đó là hai góc phụ nhau, nên: $\sin (\frac{A + B}{2}) = \cos \frac{C}{2}$ ; $\cos (\frac{A + B}{2}) = \sin \frac{C}{2}$ .