Giải bài 1.17 trang 17, 18

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=2+3|\cos x|$;

b) $y=2\sqrt{\sin x}+1$;

c) $y=3{\cos }^{2}x+4\cos 2x$;                                    

d) $y=\sin x+\cos x$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $0\le |\cos x|\le 1$ nên $0\le 3|\cos x|\le 3$, do đó$2\le 2+3|\cos x|\le 5\forall \in R$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi:

$|\cos x|=1\iff \sin x=0\iff x=k\pi (k\in Z)$.

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi:

$\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$.

b) Điều kiện $\sin x\ge 0$. Vì $0\le \sin x\le 1$ hay $0\le \sqrt{\sin x}\le 1$ nên $0\le 2\sqrt{\sin x}\le 2$, do đó $1\le 1+2\sqrt{\sin x}\le 3$ với mọi x thỏa mãn $0\le \sin x\le 1$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi $\sin x=1$ hay $x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\sin x=0$ hay $x=k\pi (k\in Z)$.

c) Ta có $y={\cos }^{2}x+4\cos 2x$

$=3.\frac{1+\cos 2x}{2}+4\cos 2x$

$=\frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x$.

Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên $-\frac{11}{2}\le \frac{11}{2}\cos 2x\le \frac{11}{2}$,

Do đó $-4=\frac{3}{2}-\frac{11}{2}\le \frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x\le \frac{3}{2}+\frac{11}{2}=7$ với mọi $x\in R$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi:

$\cos 2x=1\iff 2x=k2\pi$

$\iff x=k\pi (k\in Z)$.

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4 đạt được khi:

$\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +k2\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$.

d) Ta có $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$ với mọi $x\in R$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$, đạt được khi:

$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\Rightarrow x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$.

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$, đạt được khi:

$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\Rightarrow x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$

$\Rightarrow x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$.