Giải bài 1.18 trang 15

Đề bài

Hai nguồn nhiệt đặt cách nhau $s$ mét, một nguồn có cường độ $a$ đặt ở điểm A và một nguồn có cường độ $b$ đặt ở điểm B. Cường độ nhiệt tại điểm P nằm trên đoạn thẳng nối A và B được tính theo công thức

$I=\frac{a}{x^2}+\frac{b}{{\left(s-x\right)}^2},$

Trong đó $x$ (m) là khoảng cách giữa P và A. Tại điểm nào giữa A và B, nhiệt độ sẽ thấp nhất?

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $I=\frac{a}{x^2}+\frac{b}{{\left(s-x\right)}^2},0\le x\le s$. Ta cần tìm $x$ để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: $I^{\prime }=\frac{a^{\prime }.x^2-a.(x^2{)}^{\prime }}{x^4}+\frac{b^{\prime }{(s-x)}^2-b{\left[{(s-x)}^2\right]}^{\prime }}{{(s-x)}^4}$

$=\frac{0-2ax}{x^4}+\frac{0+b.2(s-x)}{{(s-x)}^4}$

$=-\frac{2a}{x^3}+\frac{2b}{{\left(s-x\right)}^3}$

$=\frac{2\left[b{x}^3-a{\left(s-x\right)}^3\right]}{x^3{\left(s-x\right)}^3}$, $0\le x\le s$.

Khi đó $I^{\prime }=0\iff \frac{2\left[b{x}^3-a{\left(s-x\right)}^3\right]}{x^3{\left(s-x\right)}^3}=0\iff 2\left[b{x}^3-a{\left(s-x\right)}^3\right]=0$

$\iff \frac{x}{s-x}=\frac{\sqrt[3]{3a}}{\sqrt[3]{3b}}\iff x=\frac{s\sqrt[3]{3a}}{\sqrt[3]{3a}+\sqrt[3]{3b}}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{s\sqrt[3]{3a}}{\sqrt[3]{3a}+\sqrt[3]{3b}}$.

Vậy tại điểm P trên đoạn AB các A một khoảng $PA=x=\frac{s\sqrt[3]{3a}}{\sqrt[3]{3a}+\sqrt[3]{3b}}$(m) thì nhiệt độ thấp nhất.