Giải bài 1.23 trang 14

Đề bài

Rút gọn biểu thức:

a) $(x - y) (y + z) (z + x) + (x + y) (y - z) (z + x) + (x + y) (y + z) (z - x)$ ;

b) $(2 x + y) (2 y + z) (2 z + x) - (2 x - y) (2 y - z) (2 z - x)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Thực hiện nhân lần lượt hai đa thức rồi thu gọn các kết quả với nhau.

Lời giải chi tiết

Đặt $A = (x - y) (y + z) (z + x)$ ; $B = (x + y) (y - z) (z + x)$ ; $C = (x + y) (y + z) (z - x)$ .

Ta xét:

$A = (x - y) (y + z) (z + x)$

$= (x y + x z - y^{2} - y z) (z + x)$

$= x y z + x^{2} y + x z^{2} + x^{2} z - y^{2} z - x y^{2} - y z^{2} - x y z$

$= (x y z - x y z) + x^{2} y + x z^{2} + x^{2} z - y^{2} z - x y^{2} - y z^{2}$

$= x^{2} y + x z^{2} + x^{2} z - y^{2} z - x y^{2} - y z^{2}$ .

Tương tự

$B = (x + y) (y - z) (z + x)$

$= (x y - x z + y^{2} - y z) (z + x)$

$= x y z + x^{2} y - x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z + x y^{2} - y z^{2} - x y z$

$= x^{2} y - x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z + x y^{2} - y z^{2}$ .

$C = (x + y) (y + z) (z - x)$

$= (x y + x z + y^{2} + y z) (z - x)$

$= x y z - x^{2} y + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - x y^{2} + y z^{2} - x y z$

$= (x y z - x y z) - x^{2} y + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - x y^{2} + y z^{2}$

$= - x^{2} y + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - x y^{2} + y z^{2}$ .

Khi đó

$(x - y) (y + z) (z + x) + (x + y) (y - z) (z + x) + (x + y) (y + z) (z - x) = A + B + C$

$\begin{array}{l} = x^{2} y + x z^{2} + x^{2} z - y^{2} z - x y^{2} - y z^{2} + x^{2} y - x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z + x y^{2} - y z^{2} + \\ - x^{2} y + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - x y^{2} + y z^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = (x^{2} y + x^{2} y - x^{2} y) + (- x y^{2} + x y^{2} - x y^{2}) + (x z^{2} - x z^{2} + x z^{2}) + (x^{2} z - x^{2} z - x^{2} z) \\ + (- y^{2} z + y^{2} z + y^{2} z) + (- y z^{2} - y z^{2} + y z^{2}) \end{array}$

$= x^{2} y - x y^{2} + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - y z^{2}$ .

Đặt $M = (2 x + y) (2 y + z) (2 z + x)$ ; $N = (2 x - y) (2 y - z) (2 z - x)$ .

Ta xét

$M = (2 x + y) (2 y + z) (2 z + x)$

$= (4 x y + 2 x z + 2 y^{2} + y z) (2 z + x)$

$= 8 x y z + 4 x^{2} y + 4 x z^{2} + 2 x^{2} z + 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2} + x y z$

$= (8 x y z + x y z) + 4 x^{2} y + 4 x z^{2} + 2 x^{2} z + 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}$

$= 9 x y z + 4 x^{2} y + 4 x z^{2} + 2 x^{2} z + 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}$

Tương tự

$N = (2 x - y) (2 y - z) (2 z - x)$

$= (4 x y - 2 x z - 2 y^{2} + y z) (2 z - x)$

$= 8 x y z - 4 x^{2} y - 4 x z^{2} + 2 x^{2} z - 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2} - x y z$

$= (8 x y z - x y z) - 4 x^{2} y - 4 x z^{2} + 2 x^{2} z - 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}$

$= 7 x y z - 4 x^{2} y - 4 x z^{2} + 2 x^{2} z - 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}$ .

Do đó

$(2 x + y) (2 y + z) (2 z + x) - (2 x - y) (2 y - z) (2 z - x) = M - N$

$\begin{array}{l} = (9 x y z + 4 x^{2} y + 4 x z^{2} + 2 x^{2} z + 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}) \\ - (7 x y z - 4 x^{2} y - 4 x z^{2} + 2 x^{2} z - 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}) \end{array}$
$\begin{array}{l} = 9 x y z + 4 x^{2} y + 4 x z^{2} + 2 x^{2} z + 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2} - 7 x y z + \\ + 4 x^{2} y + 4 x z^{2} - 2 x^{2} z + 4 y^{2} z - 2 x y^{2} - 2 y z^{2} \end{array}$

$= (9 x y z - 7 x y z) + (4 x^{2} y + 4 x^{2} y) + (4 y^{2} z + 4 y^{2} z) + (4 x z^{2} + 4 x z^{2}) +$

$+ (2 x y^{2} - 2 x y^{2}) + (2 y z^{2} - 2 y z^{2}) + (2 x^{2} z - 2 x^{2} z)$

$= 2 x y z + 8 x^{2} y + 8 y^{2} z + 8 x z^{2}$ .