Giải bài 1.26 trang 20

Cho hàm số (y = frac{{x + 1}}{{x - 1}}) có đồ thị (C). Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C).

Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C).

+ Gọi M là một điểm thuộc (C): $M (x; \frac{x + 1}{x - 1}) \in (C)$

+ Tính khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận, từ đó ta thu được tích của hai khoảng cách đó là một số.

Lời giải chi tiết

Ta có $lim_{x \to 1^{+}} \frac{x + 1}{x - 1} = + \infty$ ; $lim_{x \to 1^{-}} \frac{x + 1}{x - 1} = - \infty$ . Do đó đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số; $lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$ . Do đó đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giả sử điểm $M (x; \frac{x + 1}{x - 1}) \in (C)$ . Khi đó khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $x = 1$ là

$d_{1} = | x - 1 |$ , khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y = 1$ là $d_{2} = | \frac{x + 1}{x - 1} - 1 | = \frac{2}{| x - 1 |}$ .

Ta có $d_{1} \cdot d_{2} = | x - 1 | \cdot \frac{2}{| x - 1 |} = 2$ . Vậy tích khoảng cách cần tìm là $2$ .