Giải bài 1.26 trang 24

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) $\sin (2 x + 15^{0}) + \cos (2 x - 15^{0}) = 0$

b) $\cos (2 x + \frac{π}{5}) + \cos (3 x - \frac{π}{6}) = 0$

c) $\tan x + \cot x = 0$

d) $\sin x + \tan x = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng cách giải phương trình $\sin x = m$ (1)

+ Nếu $| m | > 1$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu $| m | \leq 1$ thì tồn tại duy nhất số $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thỏa mãn $\sin α = m$ .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin α \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

- Nếu góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

$\sin x = \sin α^{0} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α^{0} + k 360^{0} \\ x = 180^{0} - α + k 360^{0} \end{array} (k \in Z)$

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: $\sin u = \sin v \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u = v + k 2 π \\ x = π - v + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

b) Sử dụng cách giải phương tình $\cos x = m$ (2)

+ Nếu $| m | > 1$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu $| m | \leq 1$ thì tồn tại duy nhất số $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thỏa mãn $\cos α = m$ .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

$\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos α \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

- Nếu góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

$\cos x = \cos α^{0} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos = α^{0} + k 360^{0} \\ \cos = - α + k 360^{0} \end{array} (k \in Z)$

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: $\cos u = \cos v \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u = v + k 2 π \\ x = - v + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

c) Sử dụng cách giải phương trình $\tan x = m (3)$

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số $α \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ thoả mãn $\tan α = m$

Khi đó, phương trình (3) tương đương với:

$\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan α \Leftrightarrow x = α + k π (k \in Z)$

- Nếu góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

$\tan x = \tan α^{0} \Leftrightarrow x = α^{0} + k 180^{0} (k \in Z)$

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: $\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k π (k \in Z)$

d) Sử dụng cách giải phương trình $\cot x = m (4)$

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số $α \in (0; π)$ thoả mãn $\tan α = m$

Khi đó, phương trình (4) tương đương với:

$\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot α \Leftrightarrow x = α + k π (k \in Z)$

- Nếu góc $α$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

$\cot x = \cot α^{0} \Leftrightarrow x = α^{0} + k 180^{0} (k \in Z)$

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: $\cot u = \cot v \Leftrightarrow u = v + k π (k \in Z)$

Lời giải chi tiết

a) $\sin (2 x + 15^{0}) + \cos (2 x - 15^{0}) = 0 \Leftrightarrow \sin (2 x + 15^{0}) + \sin (90^{0} - 2 x + 15^{0}) = 0$

$\Leftrightarrow 2 \sin 60^{0} . c o s (2 x - 45^{0}) = 0 \Leftrightarrow c o s (2 x - 45^{0}) = c o s 90^{0}$

$\Leftrightarrow 2 x - 45^{0} = 90^{0} + k 180^{0} \Leftrightarrow x = \frac{135^{0}}{2} + k 90^{0} (k \in Z)$

b) $\cos (2 x + \frac{π}{5}) + \cos (3 x - \frac{π}{6}) = 0 \Leftrightarrow 2 \cos (\frac{5 x}{2} + \frac{π}{60}) \cos (\frac{x}{2} - \frac{11 π}{60}) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos (\frac{5 x}{2} + \frac{π}{60}) = 0 \\ \cos (x - \frac{11 π}{60}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{5 x}{2} + \frac{π}{60} = \frac{π}{2} + k π \\ \frac{x}{2} - \frac{11 π}{60} = \frac{π}{2} + k π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{29 π}{150} + k \frac{2 π}{5} \\ x = \frac{41 π}{30} + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

c) Điều kiện: $x \neq k π$

$\tan x + \cot x = 0 \Leftrightarrow \tan x + \frac{1}{\tan x} = 0 \Leftrightarrow \tan^{2} + 1 = 0$

Vì $\tan^{2} + 1 > 0$ với mọi $x \neq k π$ . Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện: $x \neq \frac{π}{2} + k π$

$\sin x + \tan x = 0 \Leftrightarrow \sin x + \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \Leftrightarrow \frac{\sin x \cos x + \sin x}{\cos x} = 0 \Leftrightarrow \sin x (\cos x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x + 1 = 0 \\ \sin x = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = - 1 \\ x = k π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = π + k 2 π \\ x = k π \end{array} \Leftrightarrow x = k π (k \in Z) (t m)$