Giải bài 1.27 trang 33

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $Δ : 2 x - y - 1 = 0$ và hai điểm $A (- 1; 2), B (- 3; 4) .$

a) Tìm tọa độ điểm $A^{'}$ là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục $Δ$

b) Xác định điểm M thuộc đường thẳng $Δ$ sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào kiến thức đã học về phép đối xứng trục để làm

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $2 . (- 1) - 2 - 1 = - 5 \neq 0$ nên $A (- 1; 2)$ không thuộc ∆.

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống ∆.

Vì H thuộc ∆ nên $H (x; 2 x - 1)$ . Ta có: $\vec{A H} = (x + 1; 2 x - 3)$ , vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\vec{u_{Δ}} = (1; 2)$

Vì AH vuông góc với ∆ nên $\vec{A H} . \vec{u_{Δ}} = 0 \Leftrightarrow (x + 1) .1 + (2 x - 3) .2 = 0 \Rightarrow x = 1$

Từ đó suy ra H(1; 1).

Vì A' là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục ∆ nên AA' vuông góc với ∆ tại H và H là trung điểm của AA'.

Suy ra ${\begin{array}{l} x_{A^{'}} = 2 x_{H} - x_{A} = 2.1 - (- 1) = 3 \\ y_{A^{'}} = 2 y_{H} - y_{A} = 2.1 - 2 = 0 \end{array}$

Vậy A'(3; 0).

Ta có: $2. (- 3) - 4 - 1 = - 11; 2 . (- 1) - 2 - 1 = - 5$ và $(- 11) . (- 5) = 55 > 0$ nên hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng ∆.

Vì M thuộc $Δ$ và A và A' đối xứng nhau qua $Δ$ nên MA = MA' và A' và B nằm về hai phía của đường thẳng $Δ$ .

Do đó, MA + MB = MA' + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A'B và $Δ$ .

Ta có: $\vec{A^{'} B} = (- 6; 4)$ , suy ra $\vec{n_{A^{'} B}} = (2; 3)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng A'B. Phương trình đường thẳng A'B là $2 (x - 3) + 3 (y - 0) = 0$ hay $2 x + 3 y - 6 = 0.$

Tọa độ giao điểm M của A'B và ∆ là nghiệm của hệ phương trình

${\begin{array}{l} 2 x - y - 1 = 0 \\ 2 x + 3 y - 6 = 0 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x = \frac{9}{8} \\ y = \frac{5}{4} \end{array}$

Vậy $M (\frac{9}{8}; \frac{5}{4})$ .