Giải bài 1.28 trang 33

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}\left(-3;4\right)$.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Lấy A(0; 5), B(1; 7) thuộc đường thẳng d.

Gọi A', B' tương ứng là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}\left(-3;4\right)$

Khi đó: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{u}$  và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{u}$.Suy ra A'(– 3; 9) và B'(– 2; 11).

Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}\left(-3;4\right)$ nên hai điểm A', B' thuộc đường thẳng d'.

Ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(1;2\right)$, suy ra đường thẳng d' có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left(2;-1\right)$.

Phương trình đường thẳng d' là $2\left(x+3\right)-\left(y-9\right)=0\iff 2x-y+15=0.$

Cách 2:

Gọi M(x; y) thuộc đường thẳng d và M'(x'; y') là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}\left(-3;4\right)$. Khi đó $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\vec{u}$

$\iff \{\begin{array}{c}{x}^{\prime }-x=-3\\ y^{\prime }-y=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=x^{\prime }+3\\ y=y^{\prime }-4\end{array}$

Ta có $M\in \Delta \iff 2x-y+5=0\iff 2\left(x^{\prime }+3\right)-\left(y^{\prime }-4\right)+5=0\iff 2x^{\prime }-y^{\prime }+15=0.$ Do đó, M'(x'; y') thuộc đường thẳng có phương trình 2x – y + 15 = 0.

Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}\left(-3;4\right)$ nên M' thuộc đường thẳng d'.

Vậy phương trình đường thẳng d' là 2x – y + 15 = 0.