Giải bài 1.29 trang 20

Cho hàm số (y = fleft( x right) = frac{{x + 2}}{{x - 3}}) có đồ thị (left( C right)). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm (left( {x;y} right) in left( C right)), với (x > 3) tới hai đường tiệm cận của (left( C right)) là (gleft( x right)). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (y = gleft( x right)).

Đề bài

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ có đồ thị $(C)$ . Gọi tổng khoảng cách từ một điểm $(x; y) \in (C)$ , với $x > 3$ tới hai đường tiệm cận của $(C)$ là $g (x)$ . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = g (x)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $f (x)$ .

+ Tìm tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đồ thị đến hai đường tiệm cận ta có được công thức của $g (x)$ , chú ý điều kiện $x > 3$ .

+ Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $g (x)$ bằng cách tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

Ta có $lim_{x \to 3^{+}} \frac{x + 2}{x - 3} = + \infty$ ; $lim_{x \to 3^{-}} \frac{x + 2}{x - 3} = - \infty$ . Do đó đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$lim_{x \to + \infty} \frac{x + 2}{x - 3} = 1$ . Do đó đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giả sử điểm $M (x; y) \in (C)$ suy ra $M (x; \frac{x + 2}{x - 3})$ . Khi đó khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $x = 3$ là $d_{1} = | x - 3 |$ , khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y = 1$ là $d_{2} = | \frac{x + 2}{x - 3} - 1 | = \frac{5}{| x - 3 |}$ .

Ta có $g (x) = d_{1} + d_{2} = | x - 3 | + \frac{5}{| x - 3 |} = x - 3 + \frac{5}{x - 3}$ , vì $x > 3$ .

Ta sẽ tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $g (x) = x - 3 + \frac{5}{x - 3}$ .

Ta có $lim_{x \to 3^{+}} (x - 3 + \frac{5}{x - 3}) = + \infty$ ; $lim_{x \to 3^{-}} (x - 3 + \frac{5}{x - 3}) = - \infty$ . Do đó đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số; $lim_{x \to + \infty} [(x - 3 + \frac{5}{x - 3}) - (x - 3)] = lim_{x \to + \infty} \frac{5}{x - 3} = 0$ , suy ra đường thẳng $y = x - 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Vậy $g (x)$ với $x > 3$ có một tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 3$ và một tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 3$ .