Giải bài 1.29 trang 24

Đề bài

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m; trục của nó đặt cách mặt nước 2m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là $h=\left|y\right|$ trong đó $y=2+2,5\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)$ với x là thời gian quay của guồng $\left(x\ge 0\right),$ tính bằng phút; ta quy ước rằng $y>0$ khi gầu ở trên mặt nước và $y<0$ khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Lời giải chi tiết

a) Vì $-1\le \sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le 1$ nên $-2,5\le 2,5\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le 2,5$

Do đó, $-0,5=2-2,5\le 2+2,5\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le 2+2,5=4,5\forall x\in R$

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=1\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{1}{2}+k\left(k\in Z\right)$

Vì gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm $\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},...$ phút

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=-1\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=k\left(k\in Z\right)$

Vì gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3… phút

b) Gầu cách mặt nước 2m khi $2+2,5\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=2\iff 2,5\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=0\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=k\pi \iff x=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\left(k\in Z\right)$

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tại thời điểm $x=\frac{1}{4}$ phút