Giải bài 1.29 trang 33

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0. Viết phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm $M \neq O$ thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu . Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

Nếu thì ${\begin{cases} x_{M^{'}} + x_{M} = 2 x_{I} \\ y_{M^{'}} + y_{M} = 2 y_{I} \end{cases}$ (I là trung điểm của MM’)

Lời giải chi tiết

Ta có $(C) : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2.1 x - 2.2 y - 4 = 0.$

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính $R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} - (- 4)} = 3$ .

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) nên I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) và R' = R = 3.

Vì I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A nên A là trung điểm của II'.

Suy ra ${\begin{array}{l} x_{I^{'}} = 2 x_{A} - x_{I} = 2.3 - 1 = 5 \\ y_{I^{'}} = 2 y_{A} - y_{I} = 2. (- 3) - 2 = - 8 \end{array}$ nên I'(5; – 8).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

${(x - 5)}^{2} + {[y - (- 8)]}^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow {(x - 5)}^{2} + {(y + 8)}^{2} = 9.$