Giải bài 1.3 trang 9

Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = x + frac{1}{x}); b) (y = frac{x}{{{x^2} + 1}}).

Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = x + \frac{1}{x}$ ;

b) $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc đạo hàm không tồn tại.

- Lập bảng biến thiên của hàm số.

- Từ bảng biến thiên suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.

Ý b:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng $0$ .

- Lập bảng biến thiên của hàm số.

- Từ bảng biến thiên suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $R ∖ {0}$

Ta có $y^{'} = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$ . Khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 1$ .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 1; 0)$ và $(0; 1)$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ và $y_{C Đ} = y (- 1) = - 2$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và $y_{C T} = y (1) = 2$ .

b) Tập xác định: $R$

Ta có $y^{'} = \frac{1 \cdot (x^{2} + 1) - x \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

Khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow - x^{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 1$ .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và $y_{C Đ} = y (- 1) = \frac{1}{2}$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ và $y_{C T} = y (- 1) = - \frac{1}{2}$ .