Giải bài 1.30 trang 25

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng)

Đề bài

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số:

$L (t) = 12 + 2, 83 \sin (\frac{2 π}{365} (t - 80))$ với $t \in Z$ và $0 < t \leq 365$

a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Sử dụng kiến thức $- 1 \leq \sin x \leq 1$ với mọi x

* Sử dụng cách giải phương trình $\sin x = m$ (1)

+ Nếu $| m | > 1$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu $| m | \leq 1$ thì tồn tại duy nhất số $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ thỏa mãn $\sin α = m$ .

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

$\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin α \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{array} (k \in Z)$

Lời giải chi tiết

Vì $- 1 \leq \sin (\frac{2 π}{365} (t - 80)) \leq 1$ nên $- 2, 83 \leq 2, 83 \sin (\frac{2 π}{365} (t - 80)) \leq 2, 83$

Do đó, $9, 17 = 12 - 2, 83 \leq 12 + 2, 83 \sin (\frac{2 π}{365} (t - 80)) \leq 12 + 2, 83 = 12, 83 \forall t \in R$

a) Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng nhất ứng với $\sin (\frac{2 π}{365} (t - 80)) = - 1 \Leftrightarrow \frac{2 π}{365} (t - 80) = \frac{- π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow t = \frac{- 45}{4} + 365 k (k \in Z)$

Vì $0 < t \leq 365$ nên $k = 1,$ suy ra $t = \frac{- 45}{4} + 365 = 353, 75.$ Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố A sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.

b) Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng nhất ứng với $\sin (\frac{2 π}{365} (t - 80)) = 1 \Leftrightarrow \frac{2 π}{365} (t - 80) = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow t = \frac{45}{4} + 365 k (k \in Z)$

Vì $0 < t \leq 365$ nên $k = 0,$ suy ra $t = 171, 25.$ Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.

c) Thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

$12 + 2, 83 \sin (\frac{2 π}{365} (t - 80)) = 10 \Leftrightarrow 2, 83 \sin (\frac{2 π}{365} (t - 80)) = \frac{- 200}{283}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{2 π}{365} (t - 80) \approx - 0, 78 + k 2 π \\ \frac{2 π}{365} (t - 80) \approx 3, 938 + k 2 π \end{array}$

Từ đó ta được $[\begin{array}{l} t \approx 34, 69 + 365 k \\ t \approx 308, 3 + 365 k \end{array} (k \in Z)$

Vì $0 < t \leq 365$ nên $k = 0,$ suy ra $t \approx 34, 69$ hoặc $t \approx 308, 30.$ Như vậy, vào ngày thứ 34 của năm, tức là khoảng ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời.