Giải bài 1.31 trang 33

Đề bài

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho $\overrightarrow{EF}$ không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left|\overrightarrow{EF}\right|=m(m>0)$ không đổi.

Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{EF}\left(\vec{u}\ne \vec{0}\right),\vec{u}$ không đổi, khi đó $\mid \overrightarrow{u}\mid =m$  không đổi.

Gọi G là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$. Khi đó $\overrightarrow{BG}=-\vec{u}$. Vì B cố định và $\overrightarrow{u}$ không đổi nên G cố định. Gọi G' là ảnh của G qua phép đối xứng trục d thì G' cố định.

Gọi giao điểm của AG' và đường thẳng d là E, trên d lấy điểm F thỏa mãn EF = m và $\overrightarrow{EF}=\vec{u}=-\overrightarrow{BG}$ hay $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GB}$. Khi đó BGEF là hình bình hành nên BF = GE.

Mà G và G' đối xứng nhau qua d nên GE = G'E. Do đó BF = GE = G'E.

Ta có: AE + BF = AE + G'E = AG' (1).

Ta có E và F như trên là hai điểm cần tìm để AE + BF nhỏ nhất.

Thật vậy, gọi E' và F' là 2 điểm trên d, khác E và F sao cho $\overrightarrow{E^{\prime }{F}^{\prime }}=\vec{u}$  và $\left|\overrightarrow{E^{\prime }{F}^{\prime }}\right|=\left|\vec{u}\right|=m$.

Ta có: AE' + BF' = AE' + GE' = AE' + G'E' > AG' (2) (bất đẳng thức trong tam giác AG'E').

Từ (1) và (2) suy ra AE + BF < AE' + BF'. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.