Giải bài 1.32 trang 25

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{3x+5}{x+2}$;

b) $y=\frac{2x-1}{x-1}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $R\setminus \left\{-2\right\}$

Sự biến thiên:

+ Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}>0$ với mọi $x\ne -2$.

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(-2;+\infty \right)$.

+ Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận: $\underset{x\to +\infty }{lim}=3$ suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$; $\underset{x\to -2^{+}}{lim}y=+\infty ;\underset{x\to -2^{-}}{lim}y=-\infty$ suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$.

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $\left(0;\frac{5}{2}\right)$, cắt trục hoành tại hai điểm $\left(\frac{-5}{3};0\right)$ và $\left(3;0\right)$. Đồ thị nhận $\left(-2;3\right)$ làm tâm đối xứng. Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

b)  Tập xác định: $R\setminus \left\{1\right\}$.

Sự biến thiên:

+ Ta có $y^{\prime }=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$.

+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\infty ;1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

+ Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận: $\underset{x\to +\infty }{lim}y=2$ suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$; $\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{lim}y=-\infty$ suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$.

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $\left(0;1\right)$, cắt trục hoành tại điểm $\left(\frac{1}{2};0\right)$, đồ thị có tâm đối xứng là điểm $\left(1;2\right)$. Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.