Giải bài 1.36 trang 26

Đề bài

Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích $300$ cm², lề trái và lề phải là $2$ cm, lề trên và lề dưới là $3$ cm. Gọi $x$ (cm) là chiều rộng của tờ giấy.

a) Tính diện tích của tờ giấy theo $x$.

b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là $S\left(x\right)$. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=S\left(x\right)$.

c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi $y$ (cm) là chiều dài của tờ giấy. 

Khi đó diện tích vùng in của tờ giấy là $\left(x-4\right)\left(y-6\right)=300$ (cm²)

Suy ra $y=6+\frac{300}{x-4}$.

a) Diện tích của tờ giấy là $S\left(x\right)=xy=x\left(6+\frac{300}{x-4}\right)=\frac{x\left(6x+276\right)}{x-4}$

b) Tập xác định $\left(4;+\infty \right)$.

Sự biến thiên: $S\left(x\right)=6x+300+\frac{1200}{x-4}$ khi đó $S^{\prime }\left(x\right)=\frac{6{\left(x-4\right)}^2-1200}{{\left(x-4\right)}^2}$

+ Ta có $S^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{6{\left(x-4\right)}^2-1200}{{\left(x-4\right)}^2}=0\iff 6{\left(x-4\right)}^2-1200=0\iff x=4+10\sqrt{2}$.

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(4+10\sqrt{2};+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(4;4+10\sqrt{2}\right)$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=4+10\sqrt{2}$.

+ Bảng biến thiên:

c) Để sử dụng ít nguyên liệu nhất thì tờ giấy có diện tích bé nhất hay $S\left(x\right)$ nhỏ nhất.

Từ bảng biến thiên ta suy ra $S\left(x\right)$ nhỏ nhất tại $x=4+10\sqrt{2}$ suy ra $y=6+\frac{300}{x-4}=6+\frac{30}{\sqrt{2}}$. Vậy chiều rộng bằng $4+10\sqrt{2}$, chiều dài bằng $6+\frac{30}{\sqrt{2}}$ thì nguyên liệu giấy được sử dụng ít nhất.