Giải bài 1.37 trang 26

Đề bài

Giả sử chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm của một nhà máy được cho bởi $C\left(x\right)=0,2x^2+10x+5$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$.

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$.

b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{0,2x^2+10x+5}{x}$ .

Tập xác định $\left[1;+\infty \right)$.

Sự biến thiên: $f^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{0,2x^2+10x+5}{x}\right)}^{\prime }=\frac{0,2x^2-5}{x^2}$.

Khi đó $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{0,2x^2-5}{x^2}=0\iff x=5$ do $x\ge 1$.

+ Ta có $S^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{6{\left(x-4\right)}^2-1200}{{\left(x-4\right)}^2}=0\iff 6{\left(x-4\right)}^2-1200=0\iff x=4+10\sqrt{2}$.

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(5;+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(1;5\right)$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=5$ với $f_{CT}=12$.

+ Giới hạn tại vô cực $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

b) Từ bảng biến thiên suy ra số lượng sản phẩm cần sản xuất là $x=5$ để chi phí sản xuất trung bình là thấp nhất: $f_{CT}=12$.