Giải bài 1.37 trang 26

Giả sử chi phí để sản xuất (x) sản phẩm của một nhà máy được cho bởi (Cleft( x right) = 0,2{x^2} + 10x + 5) (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là (fleft( x right) = frac{{Cleft( x right)}}{x}). a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (y = fleft( x right)). b) Số lượ

Đề bài

Giả sử chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm của một nhà máy được cho bởi $C (x) = 0, 2 x^{2} + 10 x + 5$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f (x) = \frac{C (x)}{x}$ .

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f (x)$ .

b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Khảo sát hàm số $y = f (x) = \frac{C (x)}{x} = \frac{0, 2 x^{2} + 10 x + 5}{x}$ theo các bước đã học.

Ý b: Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = f (x) = \frac{C (x)}{x} = \frac{0, 2 x^{2} + 10 x + 5}{x}$ .

Tập xác định $[1; + \infty)$ .

Sự biến thiên: $f^{'} (x) = {(\frac{0, 2 x^{2} + 10 x + 5}{x})}^{'} = \frac{0, 2 x^{2} - 5}{x^{2}}$ .

Khi đó $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{0, 2 x^{2} - 5}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 5$ do $x \geq 1$ .

+ Ta có $S^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{6 {(x - 4)}^{2} - 1200}{{(x - 4)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow 6 {(x - 4)}^{2} - 1200 = 0 \Leftrightarrow x = 4 + 10 \sqrt{2}$ .

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $(5; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(1; 5)$ .

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 5$ với $f_{C T} = 12$ .

+ Giới hạn tại vô cực $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

+ Bảng biến thiên:

b) Từ bảng biến thiên suy ra số lượng sản phẩm cần sản xuất là $x = 5$ để chi phí sản xuất trung bình là thấp nhất: $f_{C T} = 12$ .