Giải bài 1.38 trang 26

Đề bài

Cho điểm $A\left(3;2\right)$ trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua $A$ cắt trục hoành tại $B$, cắt trục tung tại $C$ tạo thành một tam giác $OBC$ nằm trong góc phần tư thứ nhất, với $O$ là gốc tọa độ.

a) Biết hoành độ điểm $B$ là $x=t$ với $t>3$. Tính diện tích tam giác $OBC$ theo $t$. Kí hiệu diện tích này là $S\left(t\right)$.

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số $S\left(t\right)$.

c) Tìm vị trí điểm $B$ để diện tích tam giác $OBC$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng đi qua $A$ và $B$ có phương trình $\frac{y-2}{-2}=\frac{x-3}{t-3}$ hay $y=2-\frac{2}{t-3}\left(x-3\right)$.

Suy ra $C$ có tung độ là $y_C=2-\frac{2}{t-3}\left(0-3\right)=2+\frac{6}{t-3}$.

Diện tích tam giác $OBC$ là $S\left(t\right)=t\cdot y_C=\frac{2t^2}{t-3}$.

b) Xét hàm số $S\left(t\right)=\frac{2t^2}{t-3}$.

Tập xác định: $\left(3;+\infty \right)$.

Sự biến thiên: $S^{\prime }\left(t\right)={\left(\frac{2t^2}{t-3}\right)}^{\prime }=\frac{2t^2-12t}{{\left(t-3\right)}^2}$.

Khi đó $S^{\prime }\left(t\right)=0\iff \frac{2t^2-12t}{{\left(t-3\right)}^2}=0\iff 2t^2-12t=0\iff t=6$ do $t>3$.

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(6;+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(3;6\right)$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $t=6$ với $S_{CT}=24$.

+ Giới hạn tại vô cực $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty ;\underset{x\to 3^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

c) Để diện tích tam giác $OBC$ nhỏ nhất thì $S\left(t\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị nhỏ nhất của tam giác $OBC$ là $24$ khi $t=6$ khi đó $B\left(0;6\right)$