Giải bài 1.38 trang 26

Đề bài

Cho điểm $A (3; 2)$ trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua $A$ cắt trục hoành tại $B$ , cắt trục tung tại $C$ tạo thành một tam giác $O B C$ nằm trong góc phần tư thứ nhất, với $O$ là gốc tọa độ.

a) Biết hoành độ điểm $B$ là $x = t$ với $t > 3$ . Tính diện tích tam giác $O B C$ theo $t$ . Kí hiệu diện tích này là $S (t)$ .

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số $S (t)$ .

c) Tìm vị trí điểm $B$ để diện tích tam giác $O B C$ nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a:

+ Viết phương trình chính tắc đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ với $A (3; 2); B (t; 0)$ .

+ Biểu diễn $y$ theo $x$ và $t$ , từ đó suy ra tung độ của C theo $t$ .

+ Tìm được diện tích $S (t) = t \cdot y_{C}$ .

Ý b: Khảo sát hàm số $S (t)$ .

Ý c: Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng đi qua $A$ và $B$ có phương trình $\frac{y - 2}{- 2} = \frac{x - 3}{t - 3}$ hay $y = 2 - \frac{2}{t - 3} (x - 3)$ .

Suy ra $C$ có tung độ là $y_{C} = 2 - \frac{2}{t - 3} (0 - 3) = 2 + \frac{6}{t - 3}$ .

Diện tích tam giác $O B C$ là $S (t) = t \cdot y_{C} = \frac{2 t^{2}}{t - 3}$ .

b) Xét hàm số $S (t) = \frac{2 t^{2}}{t - 3}$ .

Tập xác định: $(3; + \infty)$ .

Sự biến thiên: $S^{'} (t) = {(\frac{2 t^{2}}{t - 3})}^{'} = \frac{2 t^{2} - 12 t}{{(t - 3)}^{2}}$ .

Khi đó $S^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{2 t^{2} - 12 t}{{(t - 3)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} - 12 t = 0 \Leftrightarrow t = 6$ do $t > 3$ .

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $(6; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(3; 6)$ .

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $t = 6$ với $S_{C T} = 24$ .

+ Giới hạn tại vô cực $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty; lim_{x \to 3^{+}} f (x) = + \infty$

+ Bảng biến thiên:

c) Để diện tích tam giác $O B C$ nhỏ nhất thì $S (t)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị nhỏ nhất của tam giác $O B C$ là $24$ khi $t = 6$ khi đó $B (0; 6)$