Giải bài 1.4 trang 9

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=x^4-2x^2+3$;

b) $y=x^2\ln x$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $R$

Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x$. Khi đó $y^{\prime }=0\iff 4x^3-4x=0\iff x^3-x=0\iff x=-1$ hoặc $x=0$ hoặc $x=1$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y_{CĐ}=y\left(0\right)=3$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $y_{CT}=y\left(-1\right)=2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và $y_{CT}=y\left(1\right)=2$.

b) Tập xác định: $\left(0;+\infty \right)$

Ta có $y^{\prime }=2x\ln x+x$. Khi đó $y^{\prime }=0\iff 2x\ln x+x=0\iff \ln x=-\frac{1}{2}\iff x=e^{-\frac{1}{2}}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(e^{-\frac{1}{2}};+\infty \right)$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;e^{-\frac{1}{2}}\right)$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=e^{-\frac{1}{2}}$ và $y_{CT}=y\left(e^{-\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2e}$.