Giải bài 1.42 trang 31

Đề bài

Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic $R=R\left(x\right)=\frac{5000}{1+5e^{-x}},x\ge 0$, trong đó thời gian $x$ được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?

Lời giải chi tiết

Hàm biểu thị tốc độ bán hàng là $R^{\prime }\left(x\right)=\frac{25000e^{-x}}{{\left(1+5e^{-x}\right)}^2},x\ge 0$.

Tốc độ bán hàng tối đa khi $R^{\prime }\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của $R^{\prime }\left(x\right)$ trên $\left[0;+\infty \right)$.

Ta có $R^{\prime \prime }\left(x\right)=-25000\cdot \frac{e^{-x}{\left(1+5e^{-x}\right)}^2+e^{-x}\cdot 2\left(1+5e^{-x}\right)\cdot 5e^{-x}}{{\left(1+5e^{-x}\right)}^4}=\frac{25000\left(5e^{-x}-1\right)}{{\left(1+5e^{-x}\right)}^3}$

Khi đó $R^{\prime \prime }\left(x\right)=0\iff \frac{25000\left(5e^{-x}-1\right)}{{\left(1+5e^{-x}\right)}^3}=0\iff \left(5e^{-x}-1\right)=0\iff x=\ln 5$.

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $R^{\prime }$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\ln 5\approx 1,61$. Vậy tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ hai.