Giải bài 1.46 trang 32

Đề bài

Ở $0^{\circ }C$, sự mất nhiệt $H$ (tính bằng Kcal/m²h, ở đây Kcal là kilocalories và 1 Kcal=1000 calo) từ cơ thể của một người có thể được mô hình hóa bằng công thức

$H=33\left(10\sqrt{v}-v+10,45\right),$

Trong đó $v$ là tốc độ gió (tính bằng m/s) (Theo sách Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009).

a) Xét tính đơn điệu của hàm số $H$ và giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả nhận được.

b) Tìm tốc độ thay đổi của $H$ khi $v=2$ m/s. Giải thích ý nghĩa thực tiễn của kết quả này.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $H\left(v\right)=33\left(10\sqrt{v}-v+10,45\right)$.

Ta có $H^{\prime }\left(v\right)=33\left(\frac{5}{\sqrt{v}}-1\right),v>0$. Khi đó $H^{\prime }\left(v\right)=0\iff 33\left(\frac{5}{\sqrt{v}}-1\right)=0\iff v=25$.

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra $H$ đồng biến trên khoảng $\left(25;+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(0;25\right)$

Do đó, mức nhiệt mất từ cơ thể tăng khi tốc độ gió tăng không vượt quá 25 m/s, đạt tối đa ở mức gió 25 m/s và sau đó giảm dần khi tốc độ gió tiếp tục tăng.

b) Ta có $H^{\prime }\left(2\right)=33\left(\frac{5}{\sqrt{2}}-1\right)\approx 83,673$.

Điều này có nghĩa là mức nhiệt của cơ thể mất tiếp khi vận tốc gió tăng từ $2$ m/s lên $3$ m/s là khoảng $83,673$ (Kcal/m²h).