Giải bài 1.48 trang 32

Đề bài

Một công ty ước tính rằng chi phí $C$ (USD) để sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm có thể được mô hình hóa bằng công thức

$C=800+0,04x+0,0002x^2$.

Tìm mức sản xuất sao cho chi phí trung bình $\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overline{C}\left(x\right)=\frac{800+0,04x+0,0002x^2}{x}=\frac{800}{x}+0,04+0,0002x$, $x>0$

Chi phí trung bình nhỏ nhất khi $\overline{C}\left(x\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm $x$ để $\overline{C}\left(x\right)$ nhỏ nhất.

Ta có $\overline{C^{\prime }}\left(x\right)=\frac{-800}{x^2}+0,0002=\frac{-800+0,0002x^2}{x^2}$.

Khi đó $\overline{C^{\prime }}\left(x\right)=0\iff \frac{-800+0,0002x^2}{x^2}=0\iff -800+0,0002x^2=0\iff x=2000$ vì $x>0$.

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $\overline{C}\left(x\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=2000$.

Vậy với mức sản xuất $2000$ thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị hàng hóa là nhỏ nhất.