Giải bài 1.5 trang 9

Tìm các giá trị của tham số (m) sao cho hàm số (y = {x^3} + m{x^2} + 3x + 2) đồng biến trên (mathbb{R}).

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y = x^{3} + m x^{2} + 3 x + 2$ đồng biến trên $R$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tập xác định của hàm số

- Tính đạo hàm theo biến $x$ ( $m$ là tham số).

- Hàm số đồng biến trên $R$ khi đạo hàm không âm với mọi $x$ thuộc $R$ , từ đó ta tìm $m$ thỏa mãn $y^{'} \leq 0 \forall x \in R$ dựa trên kiến thức về dấu của tam thức bậc hai đã học.

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $R$

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 2 m x + 3$ .

Hàm số đồng biến trên $R$ khi và chỉ khi $y^{'} \geq 0$ với mọi $x \in R$ và $y^{'} = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm trong $R$ . Khi đó điều kiện trên tương đương với $Δ \leq 0$ (do $y^{'}$ là tam thức bậc hai có hệ số $a = 3 > 0$ ).

Ta có $Δ = 4 m^{2} - 36 \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 9 \leq 0 \Leftrightarrow m \in [- 3; 3] .$

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $R$ khi $m \in [- 3; 3]$ .