Giải bài 1.50 trang 33

a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận (Pleft( x right)) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên. b) Cho (Cleft( x right) = 16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}) là hàm chi phí và (pleft( x right) = 1700 - 7x) là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa hóa lợi nhuận.

Đề bài

a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận $P (x)$ là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Cho $C (x) = 16000 + 500 x - 1, 6 x^{2} + 0, 004 x^{3}$ là hàm chi phí và $p (x) = 1700 - 7 x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa hóa lợi nhuận.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Tính hàm lợi nhuận $P (x) = R (x) - C (x)$ , tính đạo hàm và sử dụng ý nghĩa của cực đại.

Ý b: Xác định công thức hàm lợi nhuận $P (x) = x \cdot p (x) - C (x)$ và tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có hàm lợi nhuận $P (x) = R (x) - C (x)$ trong đó $R (x)$ là doanh thu và $C (x)$ là chi phí.

Khi lợi nhuận đạt cực đại tại $x_{0}$ thì $P^{'} (x_{0}) = R^{'} (x_{0}) - C^{'} (x_{0}) = 0$ hay $R^{'} (x_{0}) = C^{'} (x_{0})$ . Nói cách khác doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Ta có hàm lợi nhuận

$\begin{array}{l} P (x) = x \cdot p (x) - C (x) = x (1700 - 7 x)) - (16000 + 500 x - 1, 6 x^{2} + 0, 004 x^{3}) = - 16000 + 1200 x - 5, 4 x^{2} - 0, 004 x^{3} \end{array}$

Suy ra $P^{'} (x) = 1200 - 10, 8 x - 0, 012 x^{2}$ khi đó $P^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 1200 - 10, 8 x - 0, 012 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 100$ do $x > 0$ .

Lập bảng biến thiên

Vậy mức sản xuất tối đa là 100 đơn vị hàng hóa.