Giải bài 1.51 trang 33

Đề bài

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)$ và dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên $\left(a;b\right)$ thì hàm số đồng biến trên $\left(a;b\right)$.

(II) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)$ và dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên $\left(a;b\right)$ thì hàm số nghịch biến trên $\left(a;b\right)$.

(III) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(a;b\right)$.

(IV) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $\left(a;b\right)$.

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

A. I, II, III và IV đúng.

B. I, II và III đúng, còn IV sai.

C. I, II và IV đúng, còn III sai.

D. I và II đúng, còn III và IV sai.

Lời giải chi tiết

Đáp án: D.

Nhắc lại kiến thức về đồng biến, nghịch biến trong sách giáo khoa:

“Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên khoảng $K$. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ ($f^{\prime }\left(x\right)<0$) với mọi $x\in K$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của $K$ thì hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến (nghịch biến) trên khoảng $K$.”

Từ nhận xét trên ta thấy mệnh đề (I) và (II) đúng.

Mệnh đề (III) sai do nếu xét $f\left(x\right)$ là hàm hằng thì ta luôn có $f^{\prime }\left(x\right)=0\le 0$ nhưng $f\left(x\right)$ không nghịch biến. Sử dụng phản ví dụ tương tự ta có (IV) là mệnh đề sai.

Vậy ta chọn D.