Giải bài 1.55 trang 34

Đề bài

Cho hàm số $y=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$ khi

A. $m=-1$

B. $m=-3$

C. $m\in \left\{-3;-1\right\}$

D. $m\in \varnothing$

Lời giải chi tiết

Ta có $y^{\prime }=\frac{\left(2x+m\right)\left(x+m\right)-\left(x^2+mx+1\right)\cdot 1}{{\left(x+m\right)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{{\left(x+m\right)}^2}$.

Suy ra:

$\begin{array}{c}{y}^{\prime \prime }={\left[\frac{x^2+2mx+m^2-1}{{\left(x+m\right)}^2}\right]}^{\prime }=\frac{\left(2x+2m\right){\left(x+m\right)}^2-2\left(x+m\right)\left(x^2+2mx+m^2-1\right)}{{\left(x+m\right)}^2}\\ =2x+2m-\frac{2\left(x^2+2mx+m^2-1\right)}{x+m}\end{array}$.

Để hàm số đạt cực đại tại $x=2$ thì $y^{\prime }\left(2\right)=0$ và $y^{\prime \prime }\left(2\right)<0$.

Ta có $y^{\prime }\left(2\right)=0\iff \frac{2^2+2m\cdot 2+m^2-1}{{\left(2+m\right)}^2}=0\iff 3+4m+m^2=0\iff m=-1$ hoặc $m=-3$.

Với $m=-1$ ta có $y^{\prime \prime }\left(2\right)=2\cdot 2+2\cdot \left(-1\right)-\frac{2\left(2^2+2\left(-1\right)\cdot 2+{\left(-1\right)}^2-1\right)}{2-1}=2>0$, do đó $x=2$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Với $m=-3$ ta có $y^{\prime \prime }\left(2\right)=2\cdot 2+2\cdot \left(-3\right)-\frac{2\left(2^2+2\left(-3\right)\cdot 2+{\left(-3\right)}^2-1\right)}{2-3}=-2<0$, do đó $x=2$ là một điểm cực đại của hàm số.

Vậy để $x=2$ là một điểm cực đại của hàm số thì $m=-3$. Ta chọn đáp án B.