Giải bài 1.56 trang 34

Đề bài

Cho hàm số $y=e^{-\frac{x^2}{2}}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I): Điểm cực đại của đồ thị $\left(C\right)$ là $\left(0;1\right)$.

(II): Trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị $\left(C\right)$.

(III): Giá trị lớn nhất của hàm số là 1.

(IV): Điểm cực đại của đồ thị $\left(C\right)$ là $x=0$.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

A. $4$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

Lời giải chi tiết

Ta có $y^{\prime }={\left(\frac{-x^2}{2}\right)}^{\prime }{e}^{\frac{-x^2}{2}}=-x{e}^{\frac{-x^2}{2}}=-x\frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}}}=\frac{-x}{e^{\frac{x^2}{2}}}$.

Suy ra $y^{\prime }=0\iff \frac{-x}{e^{\frac{x^2}{2}}}=0\iff x=0$.

Ta xét dấu của đạo hàm. Qua điểm $x=0$, đạo hàm thay đổi giá trị từ dương sang âm. Do đó $x=0$ là một điểm cực đại của hàm số.

Xét lần lượt các mệnh đề ta có:

+ Mệnh đề (I): Do $x=0$ là một điểm cực đại của hàm số nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left(0;1\right)$.

Suy ra (I) đúng.

+ Mệnh đề (II): Ta có $\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{-\frac{x^2}{2}}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{e^{\frac{x^2}{2}}}=0$ suy ra $y=0$ hay $Ox$ là tiệm cận ngang của $\left(C\right)$.

Suy ra (II) đúng.

+ Mệnh đề (III): Giá trị lớn nhất của hàm số là 1. Suy ra (III) đúng.

+ Mệnh đề (IV): Theo mệnh đề (I) đúng ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là $\left(0;1\right)$ chứ không phải là $x=0$ nên (IV) sai.

Vậy có tất cả 3 mệnh đề đúng nên ta chọn đáp án D.