Giải bài 1.6 trang 7

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=2{\cos }^{2}x-1$;

b) ${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x={\tan }^{2}x.{\sin }^{2}x$;

c) $(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2=2$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có

$\begin{array}{c}VT={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\\ =\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)\\ =({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x).1={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\\ ={\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)={\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x\\ =2{\cos }^{2}x-1=VP\end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{c}VT={\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-{\sin }^{2}x\\ =\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{{\sin }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}.(1-{\cos }^{2}x)\\ ={\tan }^{2}x.{\sin }^{2}x=VP.\end{array}$

c) Ta có

$\begin{array}{c}VT=(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2\\ ={\sin }^{2}x+2\sin x\mathrm{cosx}+co{s}^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\\ =2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2.1=2=VP.\end{array}$