Giải bài 1.6 trang 9

Chứng minh rằng hàm số (fleft( x right) = sqrt[3]{{{x^2}}}) không có đạo hàm tại (x = 0) nhưng có cực tiểu tại điểm (x = 0).

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ nhưng có cực tiểu tại điểm $x = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tập xác định của hàm số

- Tính giới hạn trái, phải tại điểm $x = 0$ của $\frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ . So sánh hai kết quả đó với nhau, dựa vào kiến thức về định nghĩa đạo hàm tại một điểm để rút ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ (do giới hạn trái và phải vừa tính khác nhau).

- Dùng định nghĩa về cực tiểu của hàm số để chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $R$

Xét $lim_{x \to 0^{-}} = \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = - \infty;$

$lim_{x \to 0^{+}} = \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = + \infty .$

Suy ra $lim_{x \to 0^{-}} = \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} \neq lim_{x \to 0^{+}} = \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ do đó hàm số $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ .

Ta có hàm số $f (x)$ xác định và liên tục trên $R$ và $f (0) = 0$ .

Mà $f (x) > 0 \forall x \neq 0$ suy ra $f (x) > f (0) \forall x \neq 0$ , do đó hàm số $f (x)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ .