Giải bài 1.6 trang 9

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $f\left(x\right)=\sqrt[3]{3x^2}$ không có đạo hàm tại $x=0$ nhưng có cực tiểu tại điểm $x=0$.

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $R$

Xét $\underset{x\to 0^{-}}{lim}=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\sqrt[3]{3x^2}}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt[3]{3x}}=-\infty ;$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt[3]{3x^2}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt[3]{3x}}=+\infty .$

Suy ra $\underset{x\to 0^{-}}{lim}=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\ne \underset{x\to 0^{+}}{lim}=\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ do đó hàm số $f\left(x\right)=\sqrt[3]{3x^2}$ không có đạo hàm tại $x=0$.

Ta có hàm số $f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $R$ và $f\left(0\right)=0$.

Mà $f\left(x\right)>0\forall x\ne 0$ suy ra $f\left(x\right)>f\left(0\right)\forall x\ne 0$, do đó hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x=0$.