Giải bài 1.61 trang 35

Đề bài

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. $bc<ad<0$

B. $ad<0<bc$

C. $0<ad<bc$

D. $ad<bc<0$

Lời giải chi tiết

Đáp án: D.

Ta có $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{cx+d}$. Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Suy ra $y^{\prime }<0\iff \frac{ad-bc}{cx+d}<0\iff ad-bc<0\iff ad<bc$. Từ đó ta loại đáp án A.

Quan sát ba đáp án còn lại, ta cần tìm dấu của $ad$ và $bc$ để chọn được đáp án đúng (so sánh với 0).

 Xét giao điểm của đồ thị với các trục:

+ Trục hoành: giao điểm là $\left(\frac{-b}{a};0\right)$ có hoành độ dương suy ra $\frac{-b}{a}>0\iff ab<0$. Do đó $a$ và $b$ trái dấu.

+ Trục tung: giao điểm là $\left(0;\frac{b}{d}\right)$ có tung độ dương suy ra $\frac{b}{d}>0\iff bd>0$. Do đó $b$ và $d$ cùng dấu.

Suy ra $a$ và $d$ trái dấu hay $ad<0$. Do đó ta loại tiếp đáp án C.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{lim}y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}$ suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$.

Mà tiệm cận ngang là đường thẳng nằm phía trên trục hoành (quan sát hình vẽ), nên $\frac{a}{c}>0\iff ac>0$.

Hay $a$ và $c$ cùng  dấu. Vì $a$ và $b$ trái dấu (đã chứng minh) nên $c$và $b$ trái dấu hay $bc<0$, ta loại đáp án B.

Vậy ta chọn đáp án D.