Giải bài 1.63 trang 36

Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} + left( {m - 1} right){x^2} + left( {2m - 3} right)x + frac{2}{3}). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (m = 2). b) Tìm (m) để hàm số có hai điểm cực trị ({x_1}) và ({x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 5). c) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên (mathbb{R})

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + (m - 1) x^{2} + (2 m - 3) x + \frac{2}{3}$ .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = 2$ .

b) Tìm $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}$ và $x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ .

c) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $R$ .

d) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Thay $m = 2$ và hàm số sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,

Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, tìm điều kiện để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ , sử dụng định lý Viète mà một số biến đổi cơ bản để giải ra m.

Ý c: Hàm số đồng biến trên $R$ khi $y^{'} \geq 0 \forall x \in R$ . Sử dụng kiến thức về dấu, nghiệm của tam thức bậc hai để làm.

Ý d: Kết hợp với bảng biến thiên để giải bài toán, lưu ý xét hết các trường hợp.

Lời giải chi tiết

a) Khi $m = 2$ hàm số trở thành $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + x + \frac{2}{3}$ .

Tập xác định: $R$ .

+ Sự biến thiên:

Ta có $y^{'} = x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2} \geq 0$ với mọi $x \in R$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên $R$ và không có cực trị.

Lập bảng biến thiên:

+ Đồ thị: Đồ thị nhận $(- 1; \frac{1}{3})$ làm tâm đối xứng.

b) Ta có $y^{'} = x^{2} + 2 (m - 1) x + 2 m - 3$ .

Khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 (m - 1) x + 2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3 - 2 m$ .

Để hàm số có hai cực trị thì đạo hàm $y^{'}$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ , tức là $3 - 2 m \neq - 1 \Leftrightarrow m \neq 2$

Để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ thì ${(3 - 2 m)}^{2} + 1 = 5 \Leftrightarrow m \in {\frac{1}{2}; \frac{5}{2}}$ .

c) Hàm số đồng biến trên $R$ khi $y^{'} \geq 0 \forall x \in R$ .

Ta có $x^{2} + 2 (m - 1) x + 2 m - 3 \geq 0 \Leftrightarrow {\begin{cases} 1 > 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow 3 - 2 m = - 1 \Leftrightarrow m = 2$ .

d) Ta có $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3 - 2 m$ .

Trường hợp 1: $- 1 \leq 3 - 2 m \Leftrightarrow m \leq 2$ . Khi đó ta có bảng biến thiên:

Để hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ thì $3 - 2 m \leq 1 \Leftrightarrow m \geq 1$ . Suy ra $1 \leq m < 2$

Trường hợp 2: $3 - 2 m < - 1 \Leftrightarrow m > 2$ . Khi đó ta có bảng biến thiên:

Ta thấy hàm số luôn đồng biến trên $(1; + \infty)$ nên trường hợp này ta có $m > 2$ .

Vậy $m \geq 1$ .