Giải bài 1.64 trang 36

Đề bài

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$ có đồ thị (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng $\Delta$ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).

c) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^3-3x^2-m=0$ có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y=x^3-3x^2+2$.

Tập xác định: $R$.

+ Sự biến thiên:

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x$ suy ra $y^{\prime }=0\iff 3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$, nghịch biến trên $\left(0;2\right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y_{CĐ}=2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và $y_{CT}=-2$.

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to \pm \infty }{lim}y=\pm \infty$.

Lập bảng biến thiên:

+ Đồ thị: Đồ thị nhận $I\left(1;0\right)$ làm tâm đối xứng.

b) Ta có $\Delta$ là tiếp tuyến của (C) tại $I\left(1;0\right)$ suy ra $\Delta$ là đường thẳng có hệ số góc là $y^{\prime }\left(1\right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$: $y=y^{\prime }\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)\iff y=-3\left(x-1\right)+0\iff y=-3x+3$.

Các tiếp tuyến của (C) có hệ số góc tổng quát là $y^{\prime }=3x^2-6x=3\left(x^2-2x+1\right)-3=3{\left(x-1\right)}^2-3\ge 3\forall x$

Suy ra hệ số góc có giá trị nhỏ nhất là -3.

Vậy $\Delta$ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).

c) Xét phương trình $x^3-3x^2-m=0\iff x^3-3x^2+2=m+2\left(1\right)$.

Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng $y=m+2$.

Từ đồ thị (C) ta thấy, đồ thị (C) cắt đường thẳng $y=m+2$ tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi

$-2<m+2<2\iff -4<m<0$.

Vậy $-4<m<0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.