Giải bài 1.65 trang 36

Đề bài

Cho hàm số $y=\frac{\left(m+1\right)x-2m+1}{x-1}$.

a) Tìm $m$ để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua $\left(1;2\right)$.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị $\left(H\right)$ của hàm số $y=f\left(x\right)$ với $m$ tìm được ở câu a.         

c) Từ đồ thị $\left(H\right)$ của hàm số $y=f\left(x\right)$ ở câu b, vẽ đồ thị $y=\left|f\left(x\right)\right|$.

Lời giải chi tiết

a) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=m+1$. Để đường thẳng này đi qua  $\left(1;2\right)$ thì $2=m+1\iff m=1$.

b) Xét đồ thị hàm số $\left(H\right):y=\frac{2x-1}{x-1}$.

Tập xác định: $R\setminus \left\{1\right\}$.

Ta có $y^{\prime }=\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}<0\forall x\ne 1$. Suy ra hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định.

Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{lim}\frac{2x-1}{x-1}=2$ suy ra $y=2$ là tiệm cận ngang.

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2x-1}{x-1}=+\infty$ và $\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{2x-1}{x-1}=-\infty$ suy ra $x=1$ là tiệm cận đứng.

Ta lập bảng biến thiên

Đồ thị:

c) Ta có

$y=\left|f\left(x\right)\right|=\{\begin{array}{c}f\left(x\right)khif\left(x\right)\ge 0\\ -f\left(x\right)khif\left(x\right)<0\end{array}$

Để vẽ đồ thị hàm giá trị tuyệt đối ta làm như sau: Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới trục hoành qua trục hoành.