Giải bài 1.66 trang 36

Cho hàm số (y = frac{{m{x^2} + left( {2m - 1} right)x - 1}}{{x + 2}}) với (m) là tham số. a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi (m > 0). b) Khảo sát và vẽ đồ thị (left( H right)) của hàm số đã cho với (m = 1). c) Giả sử (Delta ) là tiếp tuyến của đồ thị (left( H right))

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{m x^{2} + (2 m - 1) x - 1}{x + 2}$ với $m$ là tham số.

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi $m > 0$ .

b) Khảo sát và vẽ đồ thị $(H)$ của hàm số đã cho với $m = 1$ .

c) Giả sử $Δ$ là tiếp tuyến của đồ thị $(H)$ tại điểm $M \in (H)$ bất kì. Chứng minh rằng nếu $Δ$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của $(H)$ tại A và B thì M luôn là trung điểm của đoạn AB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Xét dấu đạo hàm và lập bảng biến thiên.

Ý b: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $(H)$ .

Ý c: Giả sử điểm M thuộc đồ thị biểu diễn tọa độ theo một tham số, từ đó viết phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị phụ thuộc tham số sau đó giải để tìm được tọa độ A và B theo tham số, từ đó tính toán tọa độ trung điểm sẽ suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $y^{'} = \frac{(2 m x + 2 m - 1) (x + 2) + m x^{2} + (2 m - 1) x - 1}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{m x^{2} + 4 m x + 4 m - 1}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow m x^{2} + 4 m x + 4 m - 1 = 0 (x \neq - 2)$ .

Xét phương trình $m x^{2} + 4 m x + 4 m - 1 = 0$

Ta có $Δ^{'} = {(2 m)}^{2} - 4 m^{2} + m = m$ . Do đó nếu $m > 0$ thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt: $x_{1} = \frac{- 2 m - \sqrt{m}}{m} = - 2 - \frac{1}{\sqrt{m}}$ ; $x_{2} = \frac{- 2 m + \sqrt{m}}{m} = - 2 + \frac{1}{\sqrt{m}}$ .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số luôn có tiểu và cực đại với mọi $m > 0$ .

b) Với $m = 1$ ta có $(H) : y = \frac{x^{2} + x - 1}{x + 2}$ .

Tập xác định: $R ∖ {- 2}$ .

Ta có $y^{'} = \frac{(2 x + 1) (x + 2) - x^{2} - x + 1}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

Suy ra $y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$ hoặc $x = - 1$ .

Ta có $lim_{x \to \pm \infty} y = \pm \infty$ .

$lim_{x \to - 2^{+}} \frac{x^{2} + x - 1}{x + 2} = + \infty$ và $lim_{x \to - 2^{-}} \frac{x^{2} + x - 1}{x + 2} = - \infty$ suy ra $x = - 2$ là tiệm cận đứng.

Ta có $y = \frac{x^{2} + x - 1}{x + 2} = x - 1 + \frac{1}{x + 2}$ ; $lim_{x \to \pm \infty} [y - (x - 1)] = lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x + 2} = 0$ suy ra $y = x - 1$ là tiệm cận xiên

Ta lập bảng biến thiên

Đồ thị:

c) Giả sử $M \in (H)$ bất kì suy ra $M (t; \frac{t^{2} + t - 1}{t + 2})$ .

Tiếp tuyến của $(H)$ tại $M$ có phương trình là

$Δ : y = y^{'} (t) (x - t) + \frac{t^{2} + t - 1}{t + 2} \Leftrightarrow y = \frac{t^{2} + 4 t + 3}{{(t + 2)}^{2}} (x - t) + \frac{t^{2} + t - 1}{t + 2}$ .

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng $x = - 2$ tại $A (- 2; - \frac{3 t + 4}{t + 2})$ , cắt tiệm cận xiên $y = x - 1$ tại

$B (2 t + 2; 2 t + 1)$ . Khi đó ta có ${\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 2 t = 2 x_{M} \\ y_{A} + y_{B} = (2 t + 1) - \frac{3 t + 4}{t + 2} = \frac{2 t^{2} + 2 t - 2}{t + 2} = 2 y_{M} \end{cases}$ .

Vậy M là trung điểm của đoạn AB.