Giải bài 1.67 trang 36

Đề bài

Cắt bỏ hình quạt tròn OAB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu $(0 < x < 2 π)$ .

a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo R và x.

b) Tính thể tích của hình nón theo R và x.

c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Chu vi đáy hình nón bằng độ dài cung AB, từ đó tìm được r, áp dụng định lý Pythagore để tìm h.

Ý b: Sau khi đã biết bán kính và chiều cao từ ý a, áp dụng công thức tính thể tích hình nón để tìm được V.

Ý c: Xét hàm số V theo x để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên $(0; 2 π)$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón (chu vi đáy) bằng độ dài của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có $2 π r = R x \Leftrightarrow r = \frac{R x}{2 π}$ . Khi đó ta có:

$h = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{R^{2} x^{2}}{4 π^{2}}} = \frac{R}{2 π} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}$ .

b) Thể tích hình nón là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{R^{3}}{24 π^{2}} x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}$ .

c) Ta cần tìm $x \in (0; 2 π)$ để thể tích $V$ đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số $V = \frac{R^{3}}{24 π^{2}} x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}, x \in (0; 2 π)$ .

Ta có $V^{'} = \frac{R^{3}}{24 π^{2}} \frac{x (8 π^{2} - 3 x^{2})}{\sqrt{4 π^{2} - x^{2}}}$ suy ra $V^{'} = 0 \Leftrightarrow x (8 π^{2} - 3 x^{2}) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ , do $x > 0$ .

Lập bảng biến thiên:

Hình nón có diện tích lớn nhất khi $x = \frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ khi đó $max_{(0; 2 π)} V = V (\frac{2 \sqrt{6}}{3} π) = \frac{2 \sqrt{3}}{27} π R^{3}$ .