Giải bài 1.67 trang 36

Cắt bỏ hình quạt tròn OAB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (left( {0 < x < 2pi } right)).

Đề bài

a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo R và x.

b) Tính thể tích của hình nón theo R và x.

c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Chu vi đáy hình nón bằng độ dài cung AB, từ đó tìm được r, áp dụng định lý Pythagore để tìm h.

Ý b: Sau khi đã biết bán kính và chiều cao từ ý a, áp dụng công thức tính thể tích hình nón để tìm được V.

Ý c: Xét hàm số V theo x để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên $(0; 2 π)$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón (chu vi đáy) bằng độ dài của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có $2 π r = R x \Leftrightarrow r = \frac{R x}{2 π}$ . Khi đó ta có:

$h = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{R^{2} x^{2}}{4 π^{2}}} = \frac{R}{2 π} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}$ .

b) Thể tích hình nón là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{R^{3}}{24 π^{2}} x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}$ .

c) Ta cần tìm $x \in (0; 2 π)$ để thể tích $V$ đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số $V = \frac{R^{3}}{24 π^{2}} x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}, x \in (0; 2 π)$ .

Ta có $V^{'} = \frac{R^{3}}{24 π^{2}} \frac{x (8 π^{2} - 3 x^{2})}{\sqrt{4 π^{2} - x^{2}}}$ suy ra $V^{'} = 0 \Leftrightarrow x (8 π^{2} - 3 x^{2}) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ , do $x > 0$ .

Lập bảng biến thiên:

Hình nón có diện tích lớn nhất khi $x = \frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ khi đó $max_{(0; 2 π)} V = V (\frac{2 \sqrt{6}}{3} π) = \frac{2 \sqrt{3}}{27} π R^{3}$ .